Subgroups — #22476

Order 256.

848 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 331 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#546	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	D₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#1996	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#1898	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#1819	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1799	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₄×#99	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#342	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂²×#41	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
10	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#546	—	2	2	no	—
12	#546	—	2	4	no	—
13	#546	—	2	2	no	—
14	C₂×#124	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
15	C₂×#123	C₄	1	2	yes	complemented
16	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#121	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂×#121	C₄	1	2	yes	complemented
19	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
21	C₂×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
22	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#99	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#99	C₂²	1	2	yes	—
27	#390	—	2	2	no	—
28	#386	—	2	4	no	—
29	#380	C₂²	1	2	yes	—
30	#379	C₂²	1	4	yes	—
31	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
32	#342	C₂²	1	2	yes	—
33	#342	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#342	C₂²	1	4	yes	—
35	#342	C₂²	1	4	yes	—
36	#342	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂×#41	—	2	1	no	—
39	C₂×#41	—	2	2	no	—
40	C₂×#41	—	2	1	no	—
41	C₂×#41	—	4	4	no	—
42	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
43	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
44	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
48	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
49	C₂²×D₄	D₄	1	2	yes	—
50	C₂²×D₄	D₄	1	4	yes	—
51	C₂²×D₄	D₄	1	2	yes	—
52	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
54	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
55	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
56	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
57	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#124	—	2	2	no	—
59	#124	—	2	2	no	—
60	#123	—	2	4	no	—
61	#123	—	2	4	no	—
62	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
63	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
64	#121	—	2	2	no	—
65	#121	—	2	2	no	—
66	#121	—	2	4	no	—
67	#121	—	2	4	no	—
68	#120	—	2	4	no	—
69	#120	—	2	4	no	—
70	C₄×D₄	—	2	2	no	—
71	C₄×D₄	—	2	1	no	—
72	C₄×D₄	—	2	1	no	—
73	C₄×D₄	—	2	2	no	—
74	C₄×D₄	—	2	2	no	—
75	C₄×D₄	—	4	8	no	—
76	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
78	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
79	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
80	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
81	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
82	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
88	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
89	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
90	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
91	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
92	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
99	#99	—	2	4	no	—
100	#99	—	4	2	no	—
101	#95	—	2	2	no	—
102	#95	—	2	2	no	—
103	C₂⁴	—	2	4	no	—
104	C₂⁴	—	2	2	no	—
105	C₂⁴	—	2	2	no	—
106	C₂⁴	—	4	4	no	—
107	C₂⁴	—	8	2	no	—
108	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
112	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
113	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	#41	—	4	8	no	—
115	#41	—	4	4	no	—
116	#41	—	4	4	no	—
117	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
118	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
119	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
120	C₂×D₄	—	2	8	no	—
121	C₂×D₄	—	2	4	no	—
122	C₂×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂×D₄	—	2	1	no	—
127	C₂×D₄	—	2	1	no	—
128	C₂×D₄	—	2	4	no	—
129	C₂×D₄	—	4	2	no	—
130	C₂×D₄	—	4	4	no	—
131	C₂×D₄	—	4	4	no	—
132	C₂×D₄	—	4	8	no	—
133	C₂×D₄	—	4	4	no	—
134	C₂×D₄	—	8	2	no	—
135	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
136	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
138	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
139	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
140	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
152	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
153	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
154	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
155	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
156	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
157	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
158	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
168	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
169	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
172	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
186	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
187	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
188	C₂²⋊C₄	#41	1	4	yes	complemented
189	C₄²	—	2	1	no	—
190	C₄²	—	2	1	no	—
191	C₄²	—	4	4	no	—
192	C₂³	—	2	2	no	—
193	C₂³	—	2	2	no	—
194	C₂³	—	2	4	no	—
195	C₂³	—	2	4	no	—
196	C₂³	—	2	8	no	—
197	C₂³	—	2	4	no	—
198	C₂³	—	2	2	no	—
199	C₂³	—	2	2	no	—
200	C₂³	—	2	4	no	—
201	C₂³	—	2	4	no	—
202	C₂³	—	2	1	no	—
203	C₂³	—	2	1	no	—
204	C₂³	—	2	1	no	—
205	C₂³	—	4	1	no	—
206	C₂³	—	4	2	no	—
207	C₂³	—	4	4	no	—
208	C₂³	—	4	1	no	—
209	C₂³	—	4	4	no	—
210	C₂³	—	4	2	no	—
211	C₂³	—	4	4	no	—
212	C₂³	—	4	2	no	—
213	C₂³	—	4	1	no	—
214	C₂³	—	4	1	no	—
215	C₂³	—	8	8	no	—
216	C₂³	—	8	4	no	—
217	C₂³	—	8	4	no	—
218	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
219	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
220	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
221	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
223	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
224	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
225	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
226	Q₈	—	4	2	no	—
227	Q₈	—	4	2	no	—
228	D₄	—	2	8	no	—
229	D₄	—	2	4	no	—
230	D₄	—	2	4	no	—
231	D₄	—	2	2	no	—
232	D₄	—	4	2	no	—
233	D₄	—	4	4	no	—
234	D₄	—	4	4	no	—
235	D₄	—	4	2	no	—
236	D₄	—	4	2	no	—
237	D₄	—	4	4	no	—
238	D₄	—	8	4	no	—
239	D₄	#99	1	4	yes	complemented
240	C₂×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	1	no	—
243	C₂×C₄	—	2	1	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	1	no	—
246	C₂×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂×C₄	—	2	1	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	4	1	no	—
251	C₂×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂×C₄	—	4	4	no	—
255	C₂×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂×C₄	—	4	1	no	—
259	C₂×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂×C₄	—	4	1	no	—
261	C₂×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂×C₄	—	4	4	no	—
267	C₂×C₄	—	4	2	no	—
268	C₂×C₄	—	8	2	no	—
269	C₂×C₄	—	8	2	no	—
270	C₂×C₄	—	8	16	no	—
271	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂²	—	2	2	no	—
275	C₂²	—	2	2	no	—
276	C₂²	—	2	1	no	—
277	C₂²	—	2	2	no	—
278	C₂²	—	2	1	no	—
279	C₂²	—	2	2	no	—
280	C₂²	—	2	2	no	—
281	C₂²	—	2	4	no	—
282	C₂²	—	2	2	no	—
283	C₂²	—	2	4	no	—
284	C₂²	—	2	2	no	—
285	C₂²	—	2	4	no	—
286	C₂²	—	4	2	no	—
287	C₂²	—	4	1	no	—
288	C₂²	—	4	1	no	—
289	C₂²	—	4	8	no	—
290	C₂²	—	4	8	no	—
291	C₂²	—	4	4	no	—
292	C₂²	—	4	4	no	—
293	C₂²	—	4	1	no	—
294	C₂²	—	4	1	no	—
295	C₂²	—	4	1	no	—
296	C₂²	—	8	4	no	—
297	C₂²	—	8	4	no	—
298	C₂²	—	8	2	no	—
299	C₂²	—	8	2	no	—
300	C₂²	—	8	1	no	—
301	C₂²	—	8	1	no	—
302	C₂²	C₂×#99	1	4	yes	—
303	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
304	C₂²	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
305	C₂²	#520	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	#546	1	2	yes	—
307	C₂²	#547	1	2	yes	—
308	C₄	—	2	1	no	—
309	C₄	—	2	2	no	—
310	C₄	—	4	4	no	—
311	C₄	—	4	1	no	—
312	C₄	—	4	1	no	—
313	C₄	—	4	2	no	—
314	C₄	—	4	1	no	—
315	C₄	—	4	2	no	—
316	C₄	—	8	2	no	—
317	C₄	—	8	4	no	—
318	C₄	C₂×#99	1	2	yes	—
319	C₂	—	2	2	no	—
320	C₂	—	2	2	no	—
321	C₂	—	2	1	no	—
322	C₂	—	2	1	no	—
323	C₂	—	2	4	no	—
324	C₂	—	4	2	no	—
325	C₂	—	4	4	no	—
326	C₂	—	8	1	no	—
327	C₂	#2339	1	1	yes	characteristic
328	C₂	C₂²×#99	1	1	yes	characteristic
329	C₂	#2883	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
prime radical	C₂×#546	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. D₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
3. #1996	C₂	semidirect
4. #1898	C₂	semidirect
5. #1819	C₂	semidirect
6. #1799	C₂	semidirect
7. C₄×#99	C₂	semidirect
8. C₂×#342	C₂	semidirect
9. C₂²×#41	C₄	semidirect
14. C₂×#124	C₄	semidirect
15. C₂×#123	C₄	semidirect
17. C₂×#121	C₄	semidirect
18. C₂×#121	C₄	semidirect
21. C₂×C₄×D₄	C₄	semidirect
42. C₂²×Q₈	C₂×C₄	semidirect
47. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
48. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
54. C₂³×C₄	C₂×C₄	semidirect
55. C₂³×C₄	C₂×C₄	semidirect
56. C₂³×C₄	C₂×C₄	semidirect
77. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
78. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
79. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
87. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
88. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
89. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
90. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
91. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
98. C₂×C₄²	C₂×C₄	semidirect
188. C₂²⋊C₄	#41	semidirect
239. D₄	#99	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#546	2
D₄×C₂²⋊C₄	2
#1996	2
#1898	2
#1819	2
#1799	2
C₄×#99	2
C₂×#342	2