Subgroups — #22480

Order 256.

534 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 288 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#552	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	D₄×M₁₆	C₂	1	2	yes	maximal
3	#1998	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#1901	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1901	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1822	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1821	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1801	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×#101	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1742	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#343	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	#552	—	2	2	no	—
15	#552	—	2	2	no	—
16	#552	—	2	2	no	—
17	#552	—	2	2	no	—
18	C₂×#126	C₄	1	2	yes	—
19	C₂×#125	C₄	1	2	yes	—
20	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#123	C₄	1	2	yes	—
22	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#117	C₄	1	2	yes	—
27	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#436	—	2	2	no	—
30	#435	—	2	2	no	—
31	#435	—	2	2	no	—
32	C₈×D₄	—	2	2	no	—
33	#423	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#101	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#101	C₂²	1	2	yes	—
36	#407	C₂²	1	2	yes	—
37	#407	C₂²	1	2	yes	—
38	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
39	#343	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#343	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#343	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#343	C₂²	1	2	yes	—
43	#343	C₂²	1	2	yes	—
44	#343	C₂²	1	2	yes	—
45	#343	C₂²	1	2	yes	—
46	#343	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
53	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
54	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
55	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
56	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
57	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
58	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
64	#126	—	2	4	no	—
65	#126	—	2	4	no	—
66	#125	—	2	4	no	—
67	#125	—	2	4	no	—
68	#125	—	2	2	no	—
69	#125	—	2	2	no	—
70	#123	—	2	4	no	—
71	#123	—	2	4	no	—
72	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
73	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
74	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
75	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
76	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
77	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
78	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
79	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
80	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
81	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
82	#117	—	2	2	no	—
83	#117	—	2	2	no	—
84	#117	—	2	2	no	—
85	#117	—	2	2	no	—
86	#117	—	2	2	no	—
87	#117	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
89	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
106	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
109	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
110	#101	—	2	4	no	—
111	#101	—	4	2	no	—
112	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
116	#97	—	2	2	no	—
117	C₄×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
121	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
122	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
123	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
124	C₂×D₄	—	4	2	no	—
125	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
126	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
136	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
141	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	M₁₆	—	2	2	no	—
150	M₁₆	—	2	2	no	—
151	M₁₆	—	2	2	no	—
152	M₁₆	—	2	2	no	—
153	M₁₆	—	2	2	no	—
154	M₁₆	—	2	2	no	—
155	M₁₆	—	2	2	no	—
156	M₁₆	—	4	4	no	—
157	M₁₆	—	4	4	no	—
158	M₁₆	#41	1	4	yes	—
159	C₂×C₈	—	2	2	no	—
160	C₂×C₈	—	2	2	no	—
161	C₂×C₈	—	2	2	no	—
162	C₂×C₈	—	2	2	no	—
163	C₂×C₈	—	4	4	no	—
164	C₂×C₈	—	4	4	no	—
165	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
177	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
178	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
187	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
188	C₄²	—	2	2	no	—
189	C₄²	—	2	2	no	—
190	C₄²	—	2	2	no	—
191	C₄²	—	2	2	no	—
192	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	C₂³	—	2	1	no	—
195	C₂³	—	2	1	no	—
196	C₂³	—	2	2	no	—
197	C₂³	—	2	1	no	—
198	C₂³	—	2	1	no	—
199	C₂³	—	4	1	no	—
200	C₂³	—	4	1	no	—
201	C₂³	—	4	1	no	—
202	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
203	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
206	Q₈	—	4	2	no	—
207	Q₈	—	4	2	no	—
208	D₄	—	2	4	no	—
209	D₄	—	4	2	no	—
210	C₂×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂×C₄	—	2	1	no	—
213	C₂×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂×C₄	—	4	1	no	—
229	C₂×C₄	—	4	1	no	—
230	C₂×C₄	—	4	4	no	—
231	C₂×C₄	—	4	4	no	—
232	C₂×C₄	—	4	2	no	—
233	C₂×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
240	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
241	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
242	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
243	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
244	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
245	C₈	—	2	4	no	—
246	C₈	—	4	2	no	—
247	C₈	—	4	2	no	—
248	C₈	—	4	2	no	—
249	C₂²	—	2	1	no	—
250	C₂²	—	2	1	no	—
251	C₂²	—	2	1	no	—
252	C₂²	—	2	1	no	—
253	C₂²	—	2	1	no	—
254	C₂²	—	2	2	no	—
255	C₂²	—	2	1	no	—
256	C₂²	—	2	2	no	—
257	C₂²	—	2	1	no	—
258	C₂²	—	2	2	no	—
259	C₂²	—	4	2	no	—
260	C₂²	—	4	2	no	—
261	C₂²	—	8	1	no	—
262	C₂²	—	8	1	no	—
263	C₂²	#413	1	2	yes	—
264	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
266	C₂²	#520	1	1	yes	characteristic
267	C₄	—	2	1	no	—
268	C₄	—	2	2	no	—
269	C₄	—	2	1	no	—
270	C₄	—	2	2	no	—
271	C₄	—	2	1	no	—
272	C₄	—	2	1	no	—
273	C₄	—	4	2	no	—
274	C₄	—	4	2	no	—
275	C₄	—	4	2	no	—
276	C₄	—	4	2	no	—
277	C₄	#546	1	2	yes	—
278	C₄	#547	1	2	yes	—
279	C₂	—	2	1	no	—
280	C₂	—	2	1	no	—
281	C₂	—	2	2	no	—
282	C₂	—	4	1	no	—
283	C₂	—	4	2	no	—
284	C₂	#2339	1	1	yes	characteristic
285	C₂	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
286	C₂	#2889	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₄	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #1998	C₂	semidirect
4. #1901	C₂	semidirect
5. #1901	C₂	semidirect
6. #1822	C₂	semidirect
7. #1821	C₂	semidirect
8. #1801	C₂	semidirect
9. C₄×#101	C₂	semidirect
10. #1742	C₂	semidirect
11. C₂×#343	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#552	2
D₄×M₁₆	2
#1998	2
#1901	2
#1822	2
#1821	2
#1801	2
C₄×#101	2
#1742	2
C₂×#343	2