Subgroups — #22482

Order 256.

566 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 303 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#553	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	D₄×M₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#1998	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#1900	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1900	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1822	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1821	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1800	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×#100	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1742	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#343	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	#553	—	2	2	no	—
15	#553	—	2	2	no	—
16	#553	—	2	2	no	—
17	#553	—	2	2	no	—
18	C₂×#126	C₄	1	2	yes	—
19	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#123	C₄	1	2	yes	—
21	C₂×#121	C₄	1	2	yes	—
22	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄×D₄	C₄	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#436	—	2	2	no	—
30	#435	—	2	2	no	—
31	#435	—	2	2	no	—
32	C₈×D₄	—	2	2	no	—
33	#423	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#100	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#100	C₂²	1	2	yes	—
36	#407	C₂²	1	2	yes	—
37	#407	C₂²	1	2	yes	—
38	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
39	#343	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#343	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#343	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#343	C₂²	1	2	yes	—
43	#343	C₂²	1	2	yes	—
44	#343	C₂²	1	2	yes	—
45	#343	C₂²	1	2	yes	—
46	#343	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
56	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
57	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
58	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
59	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
60	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
61	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
67	#126	—	2	4	no	—
68	#126	—	2	4	no	—
69	#125	—	2	2	no	—
70	#125	—	2	2	no	—
71	#123	—	2	4	no	—
72	#123	—	2	4	no	—
73	#121	—	2	4	no	—
74	#121	—	2	4	no	—
75	#121	—	2	2	no	—
76	#121	—	2	2	no	—
77	#121	—	2	2	no	—
78	#121	—	2	2	no	—
79	C₄×D₄	—	2	2	no	—
80	C₄×D₄	—	2	2	no	—
81	C₄×D₄	—	2	2	no	—
82	C₄×D₄	—	2	2	no	—
83	C₄×D₄	—	2	2	no	—
84	C₄×D₄	—	2	2	no	—
85	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
86	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
87	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
88	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
89	#117	—	2	2	no	—
90	#117	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
92	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
109	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
110	#100	—	2	4	no	—
111	#100	—	4	2	no	—
112	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
116	#97	—	2	2	no	—
117	C₄×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂×D₄	—	2	4	no	—
124	C₂×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂×D₄	—	2	1	no	—
127	C₂×D₄	—	2	1	no	—
128	C₂×D₄	—	4	2	no	—
129	C₂×D₄	—	4	4	no	—
130	C₂×D₄	—	8	2	no	—
131	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
132	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
133	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
144	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
145	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
157	M₁₆	—	2	2	no	—
158	M₁₆	—	2	2	no	—
159	M₁₆	—	2	2	no	—
160	M₁₆	—	2	2	no	—
161	M₁₆	—	2	2	no	—
162	M₁₆	—	2	2	no	—
163	M₁₆	—	2	2	no	—
164	M₁₆	—	4	4	no	—
165	M₁₆	—	4	4	no	—
166	M₁₆	#41	1	4	yes	—
167	C₂×C₈	—	2	2	no	—
168	C₂×C₈	—	2	2	no	—
169	C₂×C₈	—	2	2	no	—
170	C₂×C₈	—	2	2	no	—
171	C₂×C₈	—	4	4	no	—
172	C₂×C₈	—	4	4	no	—
173	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
181	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
182	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
192	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
193	C₄²	—	2	2	no	—
194	C₄²	—	2	2	no	—
195	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₂³	—	2	1	no	—
198	C₂³	—	2	1	no	—
199	C₂³	—	2	2	no	—
200	C₂³	—	2	1	no	—
201	C₂³	—	2	1	no	—
202	C₂³	—	2	2	no	—
203	C₂³	—	2	2	no	—
204	C₂³	—	2	2	no	—
205	C₂³	—	4	1	no	—
206	C₂³	—	4	1	no	—
207	C₂³	—	4	1	no	—
208	C₂³	—	4	2	no	—
209	C₂³	—	4	2	no	—
210	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
211	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
214	D₄	—	2	4	no	—
215	D₄	—	4	2	no	—
216	D₄	—	4	4	no	—
217	D₄	—	4	4	no	—
218	D₄	—	4	2	no	—
219	D₄	—	4	2	no	—
220	D₄	—	8	4	no	—
221	C₂×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂×C₄	—	2	1	no	—
224	C₂×C₄	—	2	1	no	—
225	C₂×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂×C₄	—	4	1	no	—
237	C₂×C₄	—	4	1	no	—
238	C₂×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂×C₄	—	8	2	no	—
242	C₂×C₄	—	8	2	no	—
243	C₂×C₄	—	8	2	no	—
244	C₂×C₄	—	8	2	no	—
245	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
248	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
251	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
252	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
253	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
255	C₈	—	2	4	no	—
256	C₈	—	4	2	no	—
257	C₈	—	4	2	no	—
258	C₈	—	4	2	no	—
259	C₂²	—	2	1	no	—
260	C₂²	—	2	1	no	—
261	C₂²	—	2	1	no	—
262	C₂²	—	2	1	no	—
263	C₂²	—	2	1	no	—
264	C₂²	—	2	2	no	—
265	C₂²	—	2	2	no	—
266	C₂²	—	2	1	no	—
267	C₂²	—	2	1	no	—
268	C₂²	—	2	2	no	—
269	C₂²	—	4	2	no	—
270	C₂²	—	4	2	no	—
271	C₂²	—	4	2	no	—
272	C₂²	—	4	2	no	—
273	C₂²	—	4	2	no	—
274	C₂²	—	8	1	no	—
275	C₂²	—	8	1	no	—
276	C₂²	—	8	2	no	—
277	C₂²	—	8	2	no	—
278	C₂²	#413	1	2	yes	—
279	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂²	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	#520	1	1	yes	characteristic
282	C₄	—	2	1	no	—
283	C₄	—	2	2	no	—
284	C₄	—	2	1	no	—
285	C₄	—	2	2	no	—
286	C₄	—	2	1	no	—
287	C₄	—	2	1	no	—
288	C₄	—	4	2	no	—
289	C₄	—	4	2	no	—
290	C₄	—	4	2	no	—
291	C₄	#546	1	2	yes	—
292	C₄	#547	1	2	yes	—
293	C₂	—	2	1	no	—
294	C₂	—	2	1	no	—
295	C₂	—	2	2	no	—
296	C₂	—	4	1	no	—
297	C₂	—	4	2	no	—
298	C₂	—	8	2	no	—
299	C₂	#2339	1	1	yes	characteristic
300	C₂	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
301	C₂	#2888	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#553	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. D₄×M₁₆	C₂	semidirect
3. #1998	C₂	semidirect
4. #1900	C₂	semidirect
5. #1900	C₂	semidirect
6. #1822	C₂	semidirect
7. #1821	C₂	semidirect
8. #1800	C₂	semidirect
9. C₄×#100	C₂	semidirect
10. #1742	C₂	semidirect
11. C₂×#343	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#553	2
D₄×M₁₆	2
#1998	2
#1900	2
#1822	2
#1821	2
#1800	2
C₄×#100	2
#1742	2
C₂×#343	2