Subgroups — #22485

Order 256.

737 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 281 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#547	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	D₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1990	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1988	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1893	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1874	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1823	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1802	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₄×#102	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#340	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂²×#41	—	2	1	no	—
13	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	#547	—	2	4	no	—
15	#547	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#123	—	2	2	no	—
18	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
19	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
21	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₈×D₄	—	2	4	no	—
26	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#389	—	2	1	no	—
33	#385	—	2	2	no	—
34	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#380	C₂²	1	2	yes	—
36	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#340	C₂²	1	2	yes	—
38	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#340	C₂²	1	2	yes	—
40	#340	C₂²	1	2	yes	—
41	#340	C₂²	1	2	yes	—
42	#340	C₂²	1	2	yes	—
43	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×#41	—	2	8	no	—
45	C₂×#41	—	4	4	no	—
46	C₂×#41	—	4	4	no	—
47	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
48	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
52	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
53	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
54	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
56	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
57	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
58	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
62	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
63	#123	—	2	16	no	—
64	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
65	#121	—	2	4	no	—
66	#121	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
67	C₄×D₄	—	2	2	no	—
68	C₄×D₄	—	4	4	no	—
69	C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
71	C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
74	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
78	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
80	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
81	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
91	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
92	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
94	#102	—	2	2	no	—
95	#102	—	2	2	no	—
96	#102	—	4	2	no	—
97	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
98	C₄×C₈	—	2	2	no	—
99	#95	—	2	1	no	—
100	#95	—	2	2	no	—
101	C₂⁴	—	2	1	no	—
102	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	#41	—	4	32	no	—
104	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
105	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
106	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
107	C₂×D₄	—	2	8	no	—
108	C₂×D₄	—	2	1	no	—
109	C₂×D₄	—	2	1	no	—
110	C₂×D₄	—	2	1	no	—
111	C₂×D₄	—	2	1	no	—
112	C₂×D₄	—	2	1	no	—
113	C₂×D₄	—	4	4	no	—
114	C₂×D₄	—	4	4	no	—
115	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
116	C₂×D₄	D₈	1	4	yes	—
117	C₂×D₄	SD₁₆	1	4	yes	—
118	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
131	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
132	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
133	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
134	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
135	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
136	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
137	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
138	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₈	—	2	1	no	—
144	C₂×C₈	—	2	1	no	—
145	C₂×C₈	—	2	1	no	—
146	C₂×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂×C₈	—	2	1	no	—
148	C₂×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂×C₈	—	2	1	no	—
151	C₂×C₈	—	4	8	no	—
152	C₂×C₈	#41	1	2	yes	complemented
153	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
154	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
156	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
158	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
159	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
162	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
163	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
164	C₄⋊C₄	—	8	1	no	—
165	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
166	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
167	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
168	C₄⋊C₄	#41	1	2	yes	complemented
169	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
171	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
172	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
173	C₄²	—	4	2	no	—
174	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
175	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂³	—	2	2	no	—
177	C₂³	—	2	2	no	—
178	C₂³	—	2	2	no	—
179	C₂³	—	2	2	no	—
180	C₂³	—	2	2	no	—
181	C₂³	—	4	1	no	—
182	C₂³	—	4	1	no	—
183	C₂³	—	4	1	no	—
184	C₂³	—	4	1	no	—
185	C₂³	—	4	1	no	—
186	C₂³	—	4	1	no	—
187	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
188	C₂³	C₂×D₈	1	4	yes	—
189	C₂³	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
190	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
191	Q₈	—	4	8	no	—
192	D₄	—	2	2	no	—
193	D₄	—	2	2	no	—
194	D₄	—	4	16	no	—
195	D₄	—	4	1	no	—
196	D₄	—	4	1	no	—
197	D₄	#102	1	16	yes	complemented
198	C₂×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄	—	2	1	no	—
201	C₂×C₄	—	2	1	no	—
202	C₂×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄	—	4	1	no	—
210	C₂×C₄	—	4	1	no	—
211	C₂×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂×C₄	—	4	1	no	—
213	C₂×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂×C₄	—	4	1	no	—
215	C₂×C₄	—	4	16	no	—
216	C₂×C₄	—	4	8	no	—
217	C₂×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂×C₄	—	4	1	no	—
219	C₂×C₄	—	4	1	no	—
220	C₂×C₄	—	4	2	no	—
221	C₂×C₄	—	4	2	no	—
222	C₂×C₄	—	4	1	no	—
223	C₂×C₄	—	8	8	no	—
224	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
225	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
226	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
227	C₂×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
228	C₂×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
229	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
233	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
235	C₈	—	2	2	no	—
236	C₈	—	4	2	no	—
237	C₈	—	4	1	no	—
238	C₂²	—	2	4	no	—
239	C₂²	—	2	4	no	—
240	C₂²	—	2	4	no	—
241	C₂²	—	2	4	no	—
242	C₂²	—	2	4	no	—
243	C₂²	—	2	4	no	—
244	C₂²	—	4	2	no	—
245	C₂²	—	4	2	no	—
246	C₂²	—	4	2	no	—
247	C₂²	—	8	1	no	—
248	C₂²	—	8	1	no	—
249	C₂²	—	8	1	no	—
250	C₂²	—	8	1	no	—
251	C₂²	C₂×#102	1	8	yes	—
252	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²	#546	1	1	yes	characteristic
254	C₂²	#547	1	1	yes	characteristic
255	C₂²	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
256	C₂²	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
257	C₂²	#577	1	1	yes	characteristic
258	C₂²	#578	1	1	yes	characteristic
259	C₄	—	2	4	no	—
260	C₄	—	2	2	no	—
261	C₄	—	4	2	no	—
262	C₄	—	4	4	no	—
263	C₄	—	4	2	no	—
264	C₄	—	8	1	no	—
265	C₄	—	8	2	no	—
266	C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
267	C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
268	C₄	#520	1	1	yes	characteristic
269	C₄	#546	1	1	yes	characteristic
270	C₄	#547	1	1	yes	characteristic
271	C₂	—	2	8	no	—
272	C₂	—	8	2	no	—
273	C₂	#2339	1	1	yes	characteristic
274	C₂	C₂²×#102	1	1	yes	characteristic
275	C₂	#2898	1	1	yes	characteristic
276	C₂	#3294	1	1	yes	characteristic
277	C₂	#3298	1	1	yes	characteristic
278	C₂	#3334	1	1	yes	characteristic
279	C₂	#3335	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#547	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₈×D₄	C₂	semidirect
3. D₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
4. #1990	C₂	semidirect
5. #1988	C₂	semidirect
6. #1893	C₂	semidirect
7. #1874	C₂	semidirect
8. #1823	C₂	semidirect
9. #1802	C₂	semidirect
10. C₄×#102	C₂	semidirect
11. C₂×#340	C₂	semidirect
15. #547	C₄	semidirect
62. C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
66. #121	C₂×C₄	semidirect
70. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
80. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
152. C₂×C₈	#41	semidirect
168. C₄⋊C₄	#41	semidirect
197. D₄	#102	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#547	2
C₂×C₈×D₄	2
D₄×C₄⋊C₄	2
#1990	2
#1988	2
#1893	2
#1874	2
#1823	2
#1802	2
C₄×#102	2
C₂×#340	2