Subgroups — #224902

Order 512.

908 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 375 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36597	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21345	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#9689	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#9685	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8579	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8579	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8224	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×#329	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#559	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#556	C₄	1	1	yes	characteristic
11	#2858	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2858	C₂²	1	2	yes	—
13	#2554	—	2	4	no	—
14	#2546	C₄	1	1	yes	characteristic
15	#2545	C₄	1	2	yes	—
16	#2544	C₄	1	2	yes	—
17	#2541	C₄	1	1	yes	characteristic
18	#2426	—	2	2	no	—
19	#2363	—	2	2	no	—
20	C₄×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₄×#124	C₂²	1	2	yes	—
22	C₄²×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1984	—	2	2	no	—
24	#1939	—	2	2	no	—
25	#1917	—	2	4	no	—
26	#1767	C₂²	1	2	yes	—
27	#1767	C₂²	1	4	yes	—
28	#1745	C₂²	1	4	yes	—
29	C₄×#97	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#329	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#329	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#329	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#329	C₂²	1	2	yes	—
34	#1295	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1295	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1295	C₂²	1	2	yes	—
37	#559	—	4	4	no	—
38	#556	—	4	4	no	—
39	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×#126	—	2	2	no	—
44	C₂×#124	—	2	1	no	—
45	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×#124	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#123	—	2	2	no	—
51	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
52	C₂×#121	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
58	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×#117	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×#97	—	2	2	no	—
64	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
68	#398	—	2	2	no	—
69	#396	—	2	4	no	—
70	#394	—	2	4	no	—
71	#392	—	2	2	no	—
72	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	#391	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	#390	—	2	2	no	—
75	#390	—	2	4	no	—
76	#390	—	2	4	no	—
77	#390	—	2	2	no	—
78	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#390	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	#389	—	2	2	no	—
81	#388	—	2	4	no	—
82	#388	—	2	2	no	—
83	#388	—	2	4	no	—
84	#386	—	2	4	no	—
85	#382	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
89	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
90	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
91	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
92	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
94	#336	—	2	2	no	—
95	#336	—	2	4	no	—
96	#336	—	2	4	no	—
97	#336	—	2	4	no	—
98	#329	—	2	4	no	—
99	#329	—	2	8	no	—
100	#329	—	4	4	no	—
101	#329	—	4	2	no	—
102	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
108	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
115	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
116	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
117	#127	—	4	2	no	—
118	#127	—	8	2	no	—
119	#126	—	4	8	no	—
120	#124	—	2	4	no	—
121	#124	—	2	2	no	—
122	#124	—	2	2	no	—
123	#124	—	2	1	no	—
124	#124	—	2	2	no	—
125	#124	—	2	1	no	—
126	#124	—	4	4	no	—
127	#124	—	4	4	no	—
128	#124	—	4	4	no	—
129	#124	—	8	2	no	—
130	#123	—	4	8	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
132	#121	—	4	8	no	—
133	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
134	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
135	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
136	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
137	C₄×D₄	—	4	2	no	—
138	C₄×D₄	—	4	4	no	—
139	C₄×D₄	—	4	4	no	—
140	#117	—	4	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
165	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
174	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
175	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
176	#97	—	2	2	no	—
177	#97	—	2	4	no	—
178	#97	—	2	2	no	—
179	#97	—	2	4	no	—
180	#97	—	2	2	no	—
181	#97	—	4	4	no	—
182	#97	#41	1	4	yes	—
183	C₄×C₈	—	4	4	no	—
184	#95	—	2	4	no	—
185	#95	—	2	2	no	—
186	#95	—	2	2	no	—
187	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
188	#95	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
189	C₂⁴	—	2	1	no	—
190	C₂⁴	—	2	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
199	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
201	C₂×D₄	—	2	1	no	—
202	C₂×D₄	—	2	2	no	—
203	C₂×D₄	—	2	1	no	—
204	C₂×D₄	—	2	2	no	—
205	C₂×D₄	—	4	1	no	—
206	C₂×D₄	—	4	2	no	—
207	C₂×D₄	—	4	2	no	—
208	C₂×D₄	—	4	1	no	—
209	C₂×D₄	—	4	8	no	—
210	C₂×D₄	—	4	2	no	—
211	C₂×D₄	—	4	2	no	—
212	C₂×D₄	—	4	4	no	—
213	C₂×D₄	—	8	4	no	—
214	C₂×D₄	—	8	4	no	—
215	C₂×D₄	—	8	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
224	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
232	C₂×C₈	—	2	4	no	—
233	C₂×C₈	—	2	4	no	—
234	C₂×C₈	—	4	2	no	—
235	C₂×C₈	—	4	2	no	—
236	C₂×C₈	—	4	2	no	—
237	C₂×C₈	—	4	2	no	—
238	C₂×C₈	—	4	4	no	—
239	C₂×C₈	—	4	4	no	—
240	C₂×C₈	—	4	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
251	C₄⋊C₄	#100	1	4	yes	—
252	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	2	2	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	4	2	no	—
269	C₄²	—	4	4	no	—
270	C₄²	—	4	1	no	—
271	C₄²	—	4	2	no	—
272	C₄²	—	4	4	no	—
273	C₄²	—	4	4	no	—
274	C₄²	—	4	2	no	—
275	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
276	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
277	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
278	C₂³	—	4	1	no	—
279	C₂³	—	4	2	no	—
280	C₂³	—	4	1	no	—
281	C₂³	—	4	2	no	—
282	C₂³	—	4	2	no	—
283	C₂³	—	4	1	no	—
284	C₂³	—	4	4	no	—
285	C₂³	—	4	2	no	—
286	C₂³	—	4	2	no	—
287	C₂³	—	4	4	no	—
288	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
289	Q₈	—	4	4	no	—
290	Q₈	—	8	1	no	—
291	Q₈	—	8	2	no	—
292	Q₈	—	8	1	no	—
293	Q₈	—	8	2	no	—
294	D₄	—	8	1	no	—
295	D₄	—	8	2	no	—
296	D₄	—	8	1	no	—
297	D₄	—	8	2	no	—
298	D₄	—	8	4	no	—
299	D₄	—	16	8	no	—
300	D₄	—	16	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	1	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	1	no	—
319	C₂×C₄	—	4	1	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	1	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	1	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	8	4	no	—
327	C₂×C₄	—	16	4	no	—
328	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
335	C₈	—	4	4	no	—
336	C₈	—	4	4	no	—
337	C₈	—	8	4	no	—
338	C₂²	—	8	1	no	—
339	C₂²	—	8	2	no	—
340	C₂²	—	8	2	no	—
341	C₂²	—	8	4	no	—
342	C₂²	—	8	2	no	—
343	C₂²	—	8	1	no	—
344	C₂²	—	8	4	no	—
345	C₂²	—	8	2	no	—
346	C₂²	—	8	1	no	—
347	C₂²	—	8	2	no	—
348	C₂²	#2341	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#2888	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₂×#421	1	2	yes	—
352	C₂²	#2901	1	2	yes	—
353	C₄	—	2	1	no	—
354	C₄	—	2	1	no	—
355	C₄	—	2	4	no	—
356	C₄	—	2	2	no	—
357	C₄	—	2	2	no	—
358	C₄	—	4	2	no	—
359	C₄	—	4	4	no	—
360	C₄	—	4	1	no	—
361	C₄	—	4	2	no	—
362	C₄	—	8	1	no	—
363	C₄	—	8	2	no	—
364	C₄	—	8	1	no	—
365	C₄	—	8	1	no	—
366	C₄	#1536	1	4	yes	—
367	C₂	—	16	1	no	—
368	C₂	—	16	2	no	—
369	C₂	C₂×#1536	1	1	yes	characteristic
370	C₂	#17681	1	2	yes	—
371	C₂	#17685	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#22536	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#22551	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#2541	C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21345	C₂	semidirect
3. #9689	C₂	semidirect
4. #9685	C₂	semidirect
5. #8579	C₂	semidirect
6. #8579	C₂	semidirect
7. #8224	C₂	semidirect
8. C₄×#329	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36597	2
#21345	2
#9689	2
#9685	2
#8579	2
#8224	2
C₄×#329	2