Subgroups — #224914

Order 512.

1331 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36592	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22825	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#9706	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#9695	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8592	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8585	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8231	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×#331	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#550	—	2	2	no	—
10	C₂×#550	C₄	1	2	yes	—
11	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2867	C₂²	1	2	yes	—
13	#2541	—	2	4	no	—
14	#2541	—	2	2	no	—
15	#2541	C₄	1	2	yes	—
16	#2541	C₄	1	4	yes	—
17	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄²×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1984	—	2	2	no	—
21	#1917	—	2	4	no	—
22	#1842	C₂²	1	2	yes	—
23	#1831	C₂²	1	4	yes	—
24	#1770	—	2	2	no	—
25	#1767	C₂²	1	4	yes	—
26	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
31	#1296	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1296	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1296	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×#41	—	2	2	no	—
35	#550	—	4	8	no	—
36	#550	—	4	8	no	—
37	#550	—	4	8	no	—
38	C₂×#127	—	2	4	no	—
39	C₂×#127	—	2	2	no	—
40	C₂×#127	—	2	4	no	—
41	C₂×#127	—	2	2	no	—
42	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×#121	—	2	4	no	—
49	C₂×#121	—	2	8	no	—
50	C₂×#121	—	2	4	no	—
51	C₂×#121	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#97	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
65	#392	—	2	4	no	—
66	#392	—	2	8	no	—
67	#390	—	2	4	no	—
68	#390	—	2	2	no	—
69	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
75	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
76	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
77	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#336	—	2	4	no	—
79	#336	—	2	4	no	—
80	#336	—	2	2	no	—
81	#336	—	2	4	no	—
82	#331	—	2	4	no	—
83	#331	—	2	8	no	—
84	#331	—	4	2	no	—
85	#331	—	4	4	no	—
86	C₂×#41	—	4	16	no	—
87	C₂×#41	—	4	8	no	—
88	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
99	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
100	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
104	#127	—	2	2	no	—
105	#127	—	2	4	no	—
106	#127	—	2	1	no	—
107	#127	—	2	2	no	—
108	#127	—	2	1	no	—
109	#127	—	2	2	no	—
110	#127	—	4	8	no	—
111	#127	—	4	4	no	—
112	#127	—	4	8	no	—
113	#127	—	4	8	no	—
114	#127	—	4	4	no	—
115	#127	—	4	4	no	—
116	#127	—	8	4	no	—
117	#127	—	8	2	no	—
118	#127	—	8	2	no	—
119	#127	—	8	4	no	—
120	#127	—	8	2	no	—
121	#127	—	8	4	no	—
122	#121	—	4	16	no	—
123	#121	—	4	8	no	—
124	#121	—	4	16	no	—
125	#121	—	4	32	no	—
126	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
127	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
128	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
129	C₄×D₄	—	4	8	no	—
130	C₄×D₄	—	4	8	no	—
131	C₄×D₄	—	4	8	no	—
132	C₄×D₄	—	4	4	no	—
133	C₄×D₄	—	4	4	no	—
134	C₄×D₄	—	4	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
154	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
156	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
157	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
158	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
159	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
160	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
161	C₄⋊C₈	#41	1	4	yes	complemented
162	#97	—	8	4	no	—
163	C₄×C₈	—	4	4	no	—
164	#95	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
165	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
166	C₂⁴	—	2	4	no	—
167	C₂⁴	—	2	2	no	—
168	#41	—	8	32	no	—
169	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
170	C₂×Q₈	#100	1	4	yes	—
171	C₂×D₄	—	2	2	no	—
172	C₂×D₄	—	2	4	no	—
173	C₂×D₄	—	2	2	no	—
174	C₂×D₄	—	2	4	no	—
175	C₂×D₄	—	4	4	no	—
176	C₂×D₄	—	4	2	no	—
177	C₂×D₄	—	4	4	no	—
178	C₂×D₄	—	4	2	no	—
179	C₂×D₄	—	4	16	no	—
180	C₂×D₄	—	4	8	no	—
181	C₂×D₄	—	4	4	no	—
182	C₂×D₄	—	4	16	no	—
183	C₂×D₄	—	4	4	no	—
184	C₂×D₄	—	4	2	no	—
185	C₂×D₄	—	4	4	no	—
186	C₂×D₄	—	4	2	no	—
187	C₂×D₄	—	4	4	no	—
188	C₂×D₄	—	4	2	no	—
189	C₂×D₄	—	4	4	no	—
190	C₂×D₄	—	4	2	no	—
191	C₂×D₄	—	4	2	no	—
192	C₂×D₄	—	4	4	no	—
193	C₂×D₄	—	4	4	no	—
194	C₂×D₄	—	4	2	no	—
195	C₂×D₄	—	4	8	no	—
196	C₂×D₄	—	4	4	no	—
197	C₂×D₄	—	4	8	no	—
198	C₂×D₄	—	4	8	no	—
199	C₂×D₄	—	8	4	no	—
200	C₂×D₄	—	8	8	no	—
201	C₂×D₄	—	8	8	no	—
202	C₂×D₄	—	8	4	no	—
203	C₂×D₄	—	8	4	no	—
204	C₂×D₄	—	8	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
218	C₂×C₈	—	2	4	no	—
219	C₂×C₈	—	4	2	no	—
220	C₂×C₈	—	4	2	no	—
221	C₂×C₈	—	4	2	no	—
222	C₂×C₈	—	4	4	no	—
223	C₂×C₈	—	4	2	no	—
224	C₂×C₈	—	4	4	no	—
225	C₂×C₈	—	4	4	no	—
226	C₂×C₈	—	4	2	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
238	C₄²	—	2	4	no	—
239	C₄²	—	2	4	no	—
240	C₄²	—	2	4	no	—
241	C₄²	—	2	2	no	—
242	C₄²	—	2	2	no	—
243	C₄²	—	2	4	no	—
244	C₄²	—	2	4	no	—
245	C₄²	—	2	2	no	—
246	C₄²	—	4	1	no	—
247	C₄²	—	4	2	no	—
248	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
249	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
250	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
251	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
252	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
253	C₂³	—	4	4	no	—
254	C₂³	—	4	2	no	—
255	C₂³	—	4	4	no	—
256	C₂³	—	4	2	no	—
257	C₂³	—	4	4	no	—
258	C₂³	—	4	2	no	—
259	C₂³	—	4	8	no	—
260	C₂³	—	4	4	no	—
261	C₂³	—	4	8	no	—
262	C₂³	—	4	4	no	—
263	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
264	Q₈	—	2	8	no	—
265	D₄	—	8	4	no	—
266	D₄	—	8	2	no	—
267	D₄	—	8	4	no	—
268	D₄	—	8	2	no	—
269	D₄	—	8	16	no	—
270	D₄	—	8	8	no	—
271	D₄	—	8	4	no	—
272	D₄	—	8	2	no	—
273	D₄	—	8	4	no	—
274	D₄	—	8	2	no	—
275	D₄	—	8	4	no	—
276	D₄	—	8	2	no	—
277	D₄	—	8	4	no	—
278	D₄	—	8	2	no	—
279	D₄	—	16	8	no	—
280	D₄	—	16	16	no	—
281	D₄	—	16	8	no	—
282	D₄	—	16	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	8	16	no	—
298	C₂×C₄	—	8	8	no	—
299	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#418	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	#418	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
311	C₈	—	4	4	no	—
312	C₈	—	8	2	no	—
313	C₈	—	8	4	no	—
314	C₂²	—	8	4	no	—
315	C₂²	—	8	2	no	—
316	C₂²	—	8	8	no	—
317	C₂²	—	8	4	no	—
318	C₂²	—	8	4	no	—
319	C₂²	—	8	2	no	—
320	C₂²	—	8	8	no	—
321	C₂²	—	8	4	no	—
322	C₂²	—	8	4	no	—
323	C₂²	—	8	2	no	—
324	C₂²	#2341	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	#2888	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	C₂×#418	1	2	yes	—
328	C₂²	#2897	1	2	yes	—
329	C₄	—	2	1	no	—
330	C₄	—	2	1	no	—
331	C₄	—	2	4	no	—
332	C₄	—	2	4	no	—
333	C₄	—	4	4	no	—
334	C₄	—	4	2	no	—
335	C₄	—	4	1	no	—
336	C₄	—	8	2	no	—
337	C₄	#1555	1	4	yes	—
338	C₄	#3366	1	2	yes	—
339	C₄	#3368	1	2	yes	—
340	C₄	#3397	1	2	yes	—
341	C₄	#3399	1	2	yes	—
342	C₂	—	16	4	no	—
343	C₂	—	16	2	no	—
344	C₂	C₂×#1555	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#17758	1	2	yes	—
346	C₂	#17782	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#22536	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#22545	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#36592	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22825	C₂	semidirect
3. #9706	C₂	semidirect
4. #9695	C₂	semidirect
5. #8592	C₂	semidirect
6. #8585	C₂	semidirect
7. #8231	C₂	semidirect
8. C₄×#331	C₂	semidirect
161. C₄⋊C₈	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36592	2
#22825	2
#9706	2
#9695	2
#8592	2
#8585	2
#8231	2
C₄×#331	2