Subgroups — #224916

Order 512.

931 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 305 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36594	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22722	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#9707	C₂	1	4	yes	maximal
4	#9691	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8587	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8585	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#8232	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×#331	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×#556	C₄	1	2	yes	—
10	C₂×#446	—	2	2	no	—
11	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2858	C₂²	1	2	yes	—
13	#2547	C₄	1	2	yes	—
14	#2545	C₄	1	4	yes	—
15	#2538	—	2	2	no	—
16	#2512	—	2	4	no	—
17	#2354	—	2	2	no	—
18	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₄²×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#1940	—	2	4	no	—
22	#1939	—	2	2	no	—
23	#1842	C₂²	1	2	yes	—
24	#1842	C₂²	1	4	yes	—
25	#1767	C₂²	1	4	yes	—
26	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#333	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#333	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
31	#1296	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1296	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1296	C₂²	1	2	yes	—
34	#556	—	4	8	no	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#126	—	2	4	no	—
40	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×#117	—	2	2	no	—
49	#446	—	4	8	no	—
50	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×#97	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
59	#397	—	2	4	no	—
60	#396	—	2	8	no	—
61	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	#390	—	2	2	no	—
63	#390	—	2	4	no	—
64	#390	—	2	4	no	—
65	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	#389	—	2	4	no	—
67	#388	—	2	8	no	—
68	#384	—	2	2	no	—
69	#384	—	2	2	no	—
70	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#380	—	2	4	no	—
72	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
73	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
76	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
77	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
79	#336	—	2	4	no	—
80	#336	—	2	2	no	—
81	#333	—	2	8	no	—
82	#333	—	4	4	no	—
83	#331	—	2	4	no	—
84	#331	—	4	2	no	—
85	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
87	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
88	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
93	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
94	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
95	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
96	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
97	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
98	#127	—	2	2	no	—
99	#127	—	2	1	no	—
100	#127	—	2	1	no	—
101	#126	—	4	16	no	—
102	#124	—	4	8	no	—
103	#124	—	8	4	no	—
104	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
105	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
106	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
107	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
108	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
109	C₄×D₄	—	4	4	no	—
110	C₄×D₄	—	4	4	no	—
111	C₄×D₄	—	4	4	no	—
112	#117	—	4	8	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
139	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
140	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
141	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
142	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
143	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
144	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
145	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
146	C₄⋊C₈	—	8	4	no	—
147	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
148	C₄⋊C₈	#41	1	4	yes	—
149	#97	—	4	8	no	—
150	C₄×C₈	—	4	4	no	—
151	#95	—	2	8	no	—
152	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
153	#95	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
154	C₂⁴	—	2	2	no	—
155	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
156	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
157	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
158	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
159	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
160	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
161	C₂×D₄	—	2	2	no	—
162	C₂×D₄	—	2	2	no	—
163	C₂×D₄	—	4	2	no	—
164	C₂×D₄	—	4	2	no	—
165	C₂×D₄	—	4	2	no	—
166	C₂×D₄	—	4	2	no	—
167	C₂×D₄	—	4	2	no	—
168	C₂×D₄	—	4	2	no	—
169	C₂×D₄	—	4	2	no	—
170	C₂×D₄	—	4	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
175	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₈	—	2	4	no	—
184	C₂×C₈	—	4	2	no	—
185	C₂×C₈	—	4	2	no	—
186	C₂×C₈	—	4	2	no	—
187	C₂×C₈	—	4	4	no	—
188	C₂×C₈	—	4	2	no	—
189	C₂×C₈	—	4	4	no	—
190	C₂×C₈	—	4	2	no	—
191	C₂×C₈	—	4	4	no	—
192	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
195	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
196	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
197	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
198	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
199	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
200	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
201	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
202	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
203	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
204	C₄⋊C₄	#100	1	4	yes	—
205	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
210	C₄²	—	2	4	no	—
211	C₄²	—	2	4	no	—
212	C₄²	—	2	4	no	—
213	C₄²	—	2	2	no	—
214	C₄²	—	2	4	no	—
215	C₄²	—	2	2	no	—
216	C₄²	—	2	2	no	—
217	C₄²	—	2	4	no	—
218	C₄²	—	4	2	no	—
219	C₄²	—	4	1	no	—
220	C₄²	—	4	8	no	—
221	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
222	C₄²	#137	1	4	yes	—
223	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
224	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
225	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
226	C₂³	—	4	2	no	—
227	C₂³	—	4	2	no	—
228	C₂³	—	4	2	no	—
229	C₂³	—	4	4	no	—
230	C₂³	—	4	4	no	—
231	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
232	Q₈	—	4	4	no	—
233	Q₈	—	8	4	no	—
234	Q₈	—	8	4	no	—
235	D₄	—	8	2	no	—
236	D₄	—	8	2	no	—
237	D₄	—	8	2	no	—
238	D₄	—	8	2	no	—
239	D₄	—	8	2	no	—
240	D₄	—	8	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	1	no	—
242	C₂×C₄	—	2	1	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂×C₄	—	2	1	no	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂×C₄	—	4	4	no	—
256	C₂×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂×C₄	—	8	8	no	—
259	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
260	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
261	C₂×C₄	#417	1	4	yes	—
262	C₂×C₄	#417	1	4	yes	—
263	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
267	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
268	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
269	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
270	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
271	C₈	—	4	4	no	—
272	C₈	—	8	2	no	—
273	C₈	—	8	4	no	—
274	C₂²	—	8	2	no	—
275	C₂²	—	8	4	no	—
276	C₂²	—	8	2	no	—
277	C₂²	—	8	4	no	—
278	C₂²	—	8	2	no	—
279	C₂²	#2341	1	1	yes	characteristic
280	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	#2888	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	C₂×#417	1	2	yes	—
283	C₂²	#2898	1	2	yes	—
284	C₄	—	2	1	no	—
285	C₄	—	2	1	no	—
286	C₄	—	2	4	no	—
287	C₄	—	2	4	no	—
288	C₄	—	4	2	no	—
289	C₄	—	4	4	no	—
290	C₄	—	4	1	no	—
291	C₄	—	8	4	no	—
292	C₄	—	8	2	no	—
293	C₄	#1560	1	4	yes	—
294	C₄	#3367	1	2	yes	—
295	C₄	#3369	1	2	yes	—
296	C₄	#3397	1	2	yes	—
297	C₄	#3398	1	2	yes	—
298	C₂	—	16	2	no	—
299	C₂	C₂×#1560	1	1	yes	characteristic
300	C₂	#17764	1	2	yes	—
301	C₂	#17779	1	1	yes	characteristic
302	C₂	#22536	1	1	yes	characteristic
303	C₂	#22544	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#127	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22722	C₂	semidirect
4. #9691	C₂	semidirect
5. #8587	C₂	semidirect
7. #8232	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36594	2
#22722	2
#9707	2
#9691	2
#8587	2
#8585	2
#8232	2
C₄×#331	2