Subgroups — #22500

Order 256.

685 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 277 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#547	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2354	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1990	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1988	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1895	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1875	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1824	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1802	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₄×#102	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#1736	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂²×#41	—	2	1	no	—
13	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	#547	—	2	4	no	—
15	#547	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#123	—	2	2	no	—
18	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
19	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	#436	—	2	4	no	—
25	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#390	—	2	1	no	—
32	#388	—	2	2	no	—
33	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#380	C₂²	1	2	yes	—
35	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
36	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#340	C₂²	1	2	yes	—
38	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#340	C₂²	1	2	yes	—
40	#340	C₂²	1	2	yes	—
41	#340	C₂²	1	2	yes	—
42	#340	C₂²	1	2	yes	—
43	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×#41	—	2	8	no	—
45	C₂×#41	—	4	4	no	—
46	C₂×#41	—	4	4	no	—
47	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
48	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
52	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
53	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
55	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
56	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
57	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
61	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	#123	—	2	16	no	—
63	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
64	#121	—	2	4	no	—
65	#121	C₂×C₄	1	8	yes	—
66	C₄×D₄	—	2	2	no	—
67	C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
70	#117	—	2	4	no	—
71	#117	—	4	2	no	—
72	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
74	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
76	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
89	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
91	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
93	#102	—	2	2	no	—
94	#102	—	2	2	no	—
95	#102	—	4	2	no	—
96	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
97	C₄×C₈	—	2	2	no	—
98	#95	—	2	2	no	—
99	#95	—	2	1	no	—
100	C₂⁴	—	2	1	no	—
101	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	#41	—	4	32	no	—
103	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
104	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
105	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
106	C₂×D₄	—	2	8	no	—
107	C₂×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂×D₄	—	2	1	no	—
110	C₂×D₄	—	2	1	no	—
111	C₂×D₄	—	2	1	no	—
112	C₂×D₄	—	2	1	no	—
113	C₂×D₄	—	2	1	no	—
114	C₂×D₄	—	4	4	no	—
115	C₂×D₄	—	4	4	no	—
116	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
117	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
130	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
131	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
132	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
133	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
134	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
139	M₁₆	—	4	8	no	—
140	C₂×C₈	—	2	1	no	—
141	C₂×C₈	—	2	1	no	—
142	C₂×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂×C₈	—	2	1	no	—
145	C₂×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂×C₈	—	2	1	no	—
148	C₂×C₈	#41	1	2	yes	complemented
149	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
150	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
152	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
154	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
155	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
158	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
159	C₄⋊C₄	—	8	1	no	—
160	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
161	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
162	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
163	C₄⋊C₄	#41	1	2	yes	complemented
164	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
167	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
168	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
169	C₄²	—	4	4	no	—
170	C₄²	—	4	2	no	—
171	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
172	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂³	—	2	2	no	—
174	C₂³	—	2	2	no	—
175	C₂³	—	2	2	no	—
176	C₂³	—	2	2	no	—
177	C₂³	—	2	2	no	—
178	C₂³	—	2	2	no	—
179	C₂³	—	2	2	no	—
180	C₂³	—	4	1	no	—
181	C₂³	—	4	1	no	—
182	C₂³	—	4	1	no	—
183	C₂³	—	4	1	no	—
184	C₂³	—	4	1	no	—
185	C₂³	—	4	1	no	—
186	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
187	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
188	Q₈	—	4	8	no	—
189	D₄	—	2	2	no	—
190	D₄	—	2	2	no	—
191	D₄	—	2	8	no	—
192	D₄	—	4	16	no	—
193	D₄	—	4	1	no	—
194	D₄	—	4	1	no	—
195	C₂×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄	—	2	1	no	—
198	C₂×C₄	—	2	1	no	—
199	C₂×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂×C₄	—	4	16	no	—
207	C₂×C₄	—	4	1	no	—
208	C₂×C₄	—	4	1	no	—
209	C₂×C₄	—	4	1	no	—
210	C₂×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂×C₄	—	4	1	no	—
213	C₂×C₄	—	4	8	no	—
214	C₂×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂×C₄	—	4	1	no	—
216	C₂×C₄	—	4	1	no	—
217	C₂×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂×C₄	—	4	1	no	—
219	C₂×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
221	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
222	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
223	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
224	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
225	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
229	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
230	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
231	C₈	—	2	2	no	—
232	C₈	—	4	2	no	—
233	C₈	—	4	1	no	—
234	C₂²	—	2	4	no	—
235	C₂²	—	2	4	no	—
236	C₂²	—	2	4	no	—
237	C₂²	—	4	2	no	—
238	C₂²	—	4	2	no	—
239	C₂²	—	4	2	no	—
240	C₂²	—	4	2	no	—
241	C₂²	—	4	2	no	—
242	C₂²	—	4	2	no	—
243	C₂²	—	4	2	no	—
244	C₂²	—	8	1	no	—
245	C₂²	—	8	1	no	—
246	C₂²	—	8	1	no	—
247	C₂²	—	8	1	no	—
248	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²	#546	1	1	yes	characteristic
250	C₂²	#547	1	1	yes	characteristic
251	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
252	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
253	C₂²	#577	1	1	yes	characteristic
254	C₂²	#578	1	1	yes	characteristic
255	C₄	—	2	4	no	—
256	C₄	—	2	2	no	—
257	C₄	—	4	2	no	—
258	C₄	—	4	2	no	—
259	C₄	—	4	4	no	—
260	C₄	—	8	2	no	—
261	C₄	—	8	1	no	—
262	C₄	#418	1	4	yes	—
263	C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
264	C₄	#520	1	1	yes	characteristic
265	C₄	#546	1	1	yes	characteristic
266	C₄	#547	1	1	yes	characteristic
267	C₂	—	4	4	no	—
268	C₂	—	8	2	no	—
269	C₂	#2339	1	1	yes	characteristic
270	C₂	C₂×#418	1	1	yes	characteristic
271	C₂	#2898	1	1	yes	characteristic
272	C₂	#3330	1	1	yes	characteristic
273	C₂	#3332	1	1	yes	characteristic
274	C₂	#3353	1	1	yes	characteristic
275	C₂	#3354	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#547	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#436	C₂	semidirect
3. #2354	C₂	semidirect
4. #1990	C₂	semidirect
5. #1988	C₂	semidirect
6. #1895	C₂	semidirect
7. #1875	C₂	semidirect
8. #1824	C₂	semidirect
9. #1802	C₂	semidirect
10. C₄×#102	C₂	semidirect
11. #1736	C₂	semidirect
15. #547	C₄	semidirect
148. C₂×C₈	#41	semidirect
163. C₄⋊C₄	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#547	2
C₂×#436	2
#2354	2
#1990	2
#1988	2
#1895	2
#1875	2
#1824	2
#1802	2
C₄×#102	2
#1736	2