Subgroups — #22503

Order 256.

623 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 275 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#555	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	D₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1990	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1987	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1895	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1874	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1825	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1802	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₄×#102	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#1736	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	#555	—	2	4	no	—
14	#555	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#124	—	2	2	no	—
17	C₂×#121	—	2	1	no	—
18	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
20	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#117	—	2	1	no	—
23	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	#436	—	2	4	no	—
26	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#389	—	2	1	no	—
33	#385	—	2	2	no	—
34	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#380	C₂²	1	2	yes	—
36	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#340	C₂²	1	2	yes	—
38	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#340	C₂²	1	2	yes	—
40	#340	C₂²	1	2	yes	—
41	#340	C₂²	1	2	yes	—
42	#340	C₂²	1	2	yes	—
43	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
45	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
46	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
49	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
50	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
52	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
53	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
54	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
58	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
59	#124	—	2	16	no	—
60	#121	—	2	8	no	—
61	#121	—	2	4	no	—
62	#121	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
63	C₄×D₄	—	2	2	no	—
64	C₄×D₄	—	4	4	no	—
65	C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
67	C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
68	#117	—	2	4	no	—
69	#117	—	2	8	no	—
70	#117	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
71	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
72	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
76	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
77	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
88	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
89	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
90	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
92	#102	—	2	2	no	—
93	#102	—	2	2	no	—
94	#102	—	4	2	no	—
95	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
96	C₄×C₈	—	2	2	no	—
97	#95	—	2	1	no	—
98	#95	—	2	2	no	—
99	C₂⁴	—	2	1	no	—
100	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
102	C₂×Q₈	—	8	1	no	—
103	C₂×Q₈	—	8	1	no	—
104	C₂×D₄	—	2	8	no	—
105	C₂×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂×D₄	—	2	1	no	—
108	C₂×D₄	—	2	1	no	—
109	C₂×D₄	—	2	1	no	—
110	C₂×D₄	—	2	1	no	—
111	C₂×D₄	—	2	1	no	—
112	C₂×D₄	—	8	2	no	—
113	C₂×D₄	—	8	2	no	—
114	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
115	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
127	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
128	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
129	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
130	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
131	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
132	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
137	M₁₆	—	4	8	no	—
138	C₂×C₈	—	2	1	no	—
139	C₂×C₈	—	2	1	no	—
140	C₂×C₈	—	2	1	no	—
141	C₂×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂×C₈	—	2	1	no	—
146	C₂×C₈	#41	1	2	yes	—
147	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
149	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
151	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
152	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
155	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
156	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
157	C₄⋊C₄	—	8	1	no	—
158	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
159	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
161	C₄⋊C₄	#41	1	2	yes	—
162	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
163	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
166	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
167	C₄²	—	2	8	no	—
168	C₄²	—	4	2	no	—
169	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
170	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂³	—	2	2	no	—
172	C₂³	—	2	2	no	—
173	C₂³	—	2	2	no	—
174	C₂³	—	2	2	no	—
175	C₂³	—	2	2	no	—
176	C₂³	—	2	2	no	—
177	C₂³	—	2	2	no	—
178	C₂³	—	4	1	no	—
179	C₂³	—	4	1	no	—
180	C₂³	—	4	1	no	—
181	C₂³	—	4	1	no	—
182	C₂³	—	4	1	no	—
183	C₂³	—	4	1	no	—
184	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
185	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
186	Q₈	—	8	4	no	—
187	D₄	—	2	2	no	—
188	D₄	—	2	2	no	—
189	D₄	—	2	8	no	—
190	D₄	—	4	1	no	—
191	D₄	—	4	1	no	—
192	D₄	—	8	8	no	—
193	C₂×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄	—	2	1	no	—
196	C₂×C₄	—	2	1	no	—
197	C₂×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄	—	4	1	no	—
205	C₂×C₄	—	4	1	no	—
206	C₂×C₄	—	4	1	no	—
207	C₂×C₄	—	4	1	no	—
208	C₂×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂×C₄	—	4	8	no	—
211	C₂×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂×C₄	—	4	1	no	—
213	C₂×C₄	—	4	1	no	—
214	C₂×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂×C₄	—	4	1	no	—
217	C₂×C₄	—	8	8	no	—
218	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
219	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
220	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
221	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
222	C₂×C₄	#137	1	2	yes	—
223	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
229	C₈	—	2	2	no	—
230	C₈	—	4	2	no	—
231	C₈	—	4	1	no	—
232	C₂²	—	2	4	no	—
233	C₂²	—	2	4	no	—
234	C₂²	—	2	4	no	—
235	C₂²	—	4	2	no	—
236	C₂²	—	4	2	no	—
237	C₂²	—	4	2	no	—
238	C₂²	—	4	2	no	—
239	C₂²	—	4	2	no	—
240	C₂²	—	4	2	no	—
241	C₂²	—	4	2	no	—
242	C₂²	—	8	1	no	—
243	C₂²	—	8	1	no	—
244	C₂²	—	8	1	no	—
245	C₂²	—	8	1	no	—
246	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²	#546	1	1	yes	characteristic
248	C₂²	#547	1	1	yes	characteristic
249	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
250	C₂²	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
251	C₂²	#576	1	1	yes	characteristic
252	C₂²	#577	1	1	yes	characteristic
253	C₄	—	2	4	no	—
254	C₄	—	2	2	no	—
255	C₄	—	4	2	no	—
256	C₄	—	4	4	no	—
257	C₄	—	4	2	no	—
258	C₄	—	8	1	no	—
259	C₄	—	8	2	no	—
260	C₄	#417	1	4	yes	—
261	C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
262	C₄	#520	1	1	yes	characteristic
263	C₄	#546	1	1	yes	characteristic
264	C₄	#547	1	1	yes	characteristic
265	C₂	—	4	4	no	—
266	C₂	—	8	2	no	—
267	C₂	#2339	1	1	yes	characteristic
268	C₂	C₂×#417	1	1	yes	characteristic
269	C₂	#2897	1	1	yes	characteristic
270	C₂	#3325	1	1	yes	characteristic
271	C₂	#3329	1	1	yes	characteristic
272	C₂	#3354	1	1	yes	characteristic
273	C₂	#3357	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#555	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#436	C₂	semidirect
3. D₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
4. #1990	C₂	semidirect
5. #1987	C₂	semidirect
6. #1895	C₂	semidirect
7. #1874	C₂	semidirect
8. #1825	C₂	semidirect
9. #1802	C₂	semidirect
10. C₄×#102	C₂	semidirect
11. #1736	C₂	semidirect
14. #555	C₄	semidirect
58. C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
62. #121	C₂×C₄	semidirect
66. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
70. #117	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#555	2
C₂×#436	2
D₄×C₄⋊C₄	2
#1990	2
#1987	2
#1895	2
#1874	2
#1825	2
#1802	2
C₄×#102	2
#1736	2