Subgroups — #22510

Order 256.

646 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 225 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#446	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#1985	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#1984	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1797	C₂	1	2	yes	maximal
6	#1797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#1749	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₄×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂³×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
11	C₂×C₄×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×Q₈	C₄	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
21	#446	—	2	8	no	—
22	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#97	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
29	#336	C₂²	1	4	yes	—
30	#336	C₂²	1	2	yes	—
31	#336	C₂²	1	4	yes	—
32	#336	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
34	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
35	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
36	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
48	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
49	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
50	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
51	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
52	C₄×Q₈	D₄	1	8	yes	—
53	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
54	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
64	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
72	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
73	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
74	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
75	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
76	C₂²⋊C₈	Q₈	1	4	yes	complemented
77	#97	—	2	8	no	—
78	C₄×C₈	—	2	4	no	—
79	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
81	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
82	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
83	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
84	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
85	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
86	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
87	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
88	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
89	C₂×Q₈	M₁₆	1	4	yes	—
90	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
91	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
94	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
95	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
98	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
99	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
101	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
102	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
103	C₂²×C₄	M₁₆	1	4	yes	—
104	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
114	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
115	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂×C₈	—	2	4	no	—
120	C₂×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂×C₈	—	2	4	no	—
122	C₂×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂×C₈	—	2	4	no	—
124	C₂×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
125	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
131	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
132	C₄²	—	2	2	no	—
133	C₄²	—	2	4	no	—
134	C₄²	—	2	4	no	—
135	C₄²	—	2	2	no	—
136	C₄²	—	2	2	no	—
137	C₄²	—	2	4	no	—
138	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
140	C₂³	—	2	1	no	—
141	C₂³	—	2	1	no	—
142	C₂³	—	2	1	no	—
143	C₂³	—	2	1	no	—
144	C₂³	C₄×Q₈	1	2	yes	—
145	C₂³	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
146	C₂³	#131	1	2	yes	—
147	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
148	Q₈	—	2	16	no	—
149	Q₈	—	2	8	no	—
150	Q₈	—	2	8	no	—
151	C₂×C₄	—	2	16	no	—
152	C₂×C₄	—	2	1	no	—
153	C₂×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄	—	2	1	no	—
155	C₂×C₄	—	2	1	no	—
156	C₂×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄	—	2	1	no	—
160	C₂×C₄	—	2	1	no	—
161	C₂×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄	—	2	1	no	—
163	C₂×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄	—	2	8	no	—
167	C₂×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄	—	2	1	no	—
169	C₂×C₄	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄	—	2	1	no	—
172	C₂×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄	—	4	4	no	—
174	C₂×C₄	—	4	8	no	—
175	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
177	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
178	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
180	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
181	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
182	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
183	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
184	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
188	C₈	—	2	4	no	—
189	C₈	—	4	2	no	—
190	C₈	—	4	4	no	—
191	C₂²	—	2	2	no	—
192	C₂²	—	2	2	no	—
193	C₂²	—	2	2	no	—
194	C₂²	—	2	2	no	—
195	C₂²	—	2	2	no	—
196	C₂²	—	2	2	no	—
197	C₂²	#446	1	4	yes	complemented
198	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂²	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
200	C₂²	#519	1	1	yes	characteristic
201	C₂²	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
202	C₂²	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
203	C₂²	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
204	C₂²	#568	1	1	yes	characteristic
205	C₄	—	2	2	no	—
206	C₄	—	2	4	no	—
207	C₄	—	2	4	no	—
208	C₄	—	2	2	no	—
209	C₄	—	2	2	no	—
210	C₄	—	2	4	no	—
211	C₄	—	4	2	no	—
212	C₄	—	4	1	no	—
213	C₄	#407	1	4	yes	—
214	C₄	#548	1	2	yes	—
215	C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
216	C₂	—	2	4	no	—
217	C₂	Q₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
219	C₂	#2880	1	1	yes	characteristic
220	C₂	C₂×#446	1	1	yes	characteristic
221	C₂	Q₈×M₁₆	1	1	yes	characteristic
222	C₂	#2983	1	1	yes	characteristic
223	C₂	#2984	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#446	C₂	semidirect
3. #1985	C₂	semidirect
4. #1984	C₂	semidirect
76. C₂²⋊C₈	Q₈	semidirect
124. C₂×C₈	C₂×Q₈	semidirect
197. C₂²	#446	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×Q₈	2
C₂×#446	2
#1985	2
#1984	2
#1797	2
#1749	2
C₄×C₂²⋊C₈	2