Subgroups — #22513

Order 256.

557 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 264 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#554	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2345	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#1996	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#1996	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1799	C₂	1	2	yes	maximal
6	#1799	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₄×#99	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₄×#99	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#554	—	2	2	no	—
10	#554	—	2	4	no	—
11	#554	—	2	2	no	—
12	C₂×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
13	C₂×#125	C₄	1	2	yes	complemented
14	C₂×C₂²⋊Q₈	C₄	1	2	yes	complemented
15	C₂×C₂²⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
16	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
19	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
22	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#99	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#99	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#99	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#389	—	2	2	no	—
27	#387	—	2	4	no	—
28	#380	C₂²	1	4	yes	—
29	#380	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
31	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
33	#342	C₂²	1	4	yes	—
34	#342	C₂²	1	2	yes	—
35	#342	C₂²	1	4	yes	—
36	#342	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
44	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
45	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
46	#125	—	2	4	no	—
47	#125	—	2	4	no	—
48	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
49	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
50	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
51	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
52	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
53	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
54	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
55	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
56	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
57	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
58	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
59	C₄×D₄	—	2	4	no	—
60	C₄×D₄	—	2	4	no	—
61	C₄×D₄	—	2	2	no	—
62	C₄×D₄	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
89	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
90	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
92	#99	—	2	2	no	—
93	#99	—	2	4	no	—
94	#99	Q₈	1	4	yes	complemented
95	#95	—	2	2	no	—
96	#95	—	2	4	no	—
97	#95	—	2	4	no	—
98	#95	—	2	2	no	—
99	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
101	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
102	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
103	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
104	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
105	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
106	C₂×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
109	C₂×D₄	#41	1	2	yes	—
110	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
112	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
113	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
118	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
119	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
120	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
121	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
137	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
138	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
145	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
146	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
147	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
150	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
151	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
152	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
153	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
163	C₄²	—	2	2	no	—
164	C₄²	—	2	2	no	—
165	C₄²	—	2	1	no	—
166	C₄²	—	2	1	no	—
167	C₄²	—	4	4	no	—
168	C₄²	—	8	4	no	—
169	C₂³	—	2	1	no	—
170	C₂³	—	2	1	no	—
171	C₂³	—	4	1	no	—
172	C₂³	—	4	1	no	—
173	C₂³	—	4	1	no	—
174	C₂³	—	4	1	no	—
175	C₂³	C₄×Q₈	1	2	yes	—
176	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
178	C₂³	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
179	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
180	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
181	Q₈	—	4	2	no	—
182	Q₈	—	4	2	no	—
183	Q₈	—	8	4	no	—
184	D₄	—	2	4	no	—
185	D₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄	—	2	1	no	—
192	C₂×C₄	—	2	1	no	—
193	C₂×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄	—	4	4	no	—
196	C₂×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂×C₄	—	4	1	no	—
198	C₂×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂×C₄	—	4	1	no	—
206	C₂×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂×C₄	—	4	1	no	—
209	C₂×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂×C₄	—	8	2	no	—
216	C₂×C₄	—	8	2	no	—
217	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
218	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
219	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
221	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
222	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
224	C₂²	—	2	2	no	—
225	C₂²	—	2	1	no	—
226	C₂²	—	2	2	no	—
227	C₂²	—	2	1	no	—
228	C₂²	—	2	2	no	—
229	C₂²	—	4	1	no	—
230	C₂²	—	4	1	no	—
231	C₂²	—	4	2	no	—
232	C₂²	—	4	2	no	—
233	C₂²	—	4	2	no	—
234	C₂²	—	4	1	no	—
235	C₂²	—	4	1	no	—
236	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
238	C₂²	#519	1	1	yes	characteristic
239	C₂²	#548	1	2	yes	—
240	C₂²	D₄×Q₈	1	2	yes	—
241	C₄	—	2	2	no	—
242	C₄	—	2	1	no	—
243	C₄	—	2	2	no	—
244	C₄	—	2	2	no	—
245	C₄	—	2	2	no	—
246	C₄	—	2	4	no	—
247	C₄	—	4	4	no	—
248	C₄	—	4	1	no	—
249	C₄	—	4	2	no	—
250	C₄	—	4	2	no	—
251	C₄	—	4	1	no	—
252	C₄	—	8	2	no	—
253	C₄	—	8	4	no	—
254	C₄	#410	1	2	yes	—
255	C₂	—	2	2	no	—
256	C₂	—	2	2	no	—
257	C₂	—	2	1	no	—
258	C₂	—	2	1	no	—
259	C₂	—	4	2	no	—
260	C₂	Q₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂	C₂×#410	1	1	yes	characteristic
262	C₂	#2883	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2345	C₂	semidirect
3. #1996	C₂	semidirect
4. #1996	C₂	semidirect
12. C₂×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
13. C₂×#125	C₄	semidirect
14. C₂×C₂²⋊Q₈	C₄	semidirect
15. C₂×C₂²⋊Q₈	C₄	semidirect
18. C₂×C₄×Q₈	C₄	semidirect
21. C₂²×C₄⋊C₄	C₄	semidirect
94. #99	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#554	2
#2345	2
#1996	2
#1799	2
C₄×#99	2