Group #22515 — subgroups

Subgroups — #22515

Order 256.

507 conjugacy classes of subgroups; only the 201 normal subgroups are shown.

normal subgroups only

This group has 507 conjugacy classes of subgroups — too many to draw. Only its 201 normal subgroups are shown.

Dotted edges: containments with no intermediate normal subgroup — omitted non-normal subgroups may lie between.

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#554	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	Q₈×M₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#1998	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#1997	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1800	C₂	1	2	yes	maximal
6	#1800	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₄×#100	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₄×#100	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#554	—	2	2	no	—
10	#554	—	2	4	no	—
11	#554	—	2	2	no	—
12	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₂²⋊Q₈	C₄	1	4	yes	—
15	C₂×C₂²⋊Q₈	C₄	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
20	#446	—	2	4	no	—
21	#446	—	2	2	no	—
22	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
23	#423	C₂²	1	2	yes	—
24	#423	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#100	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#100	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#100	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
30	#343	C₂²	1	4	yes	—
31	#343	C₂²	1	2	yes	—
32	#343	C₂²	1	4	yes	—
33	#343	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
43	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
44	#125	—	2	4	no	—
45	#125	—	2	4	no	—
46	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
47	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
48	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
49	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
50	C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
51	C₄×Q₈	D₄	1	4	yes	—
52	C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
53	C₄×D₄	—	2	4	no	—
54	C₄×D₄	—	2	2	no	—
55	C₄×D₄	—	2	4	no	—
56	C₄×D₄	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
72	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
73	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
74	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
75	#100	—	2	2	no	—
76	#100	—	2	4	no	—
77	#100	Q₈	1	4	yes	complemented
78	#97	—	2	4	no	—
79	#97	—	2	2	no	—
80	C₄×C₈	—	2	4	no	—
81	C₄×C₈	—	2	2	no	—
82	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
84	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
85	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
86	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
87	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
88	C₂×D₄	—	2	2	no	—
89	C₂×D₄	—	2	2	no	—
90	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
91	C₂×D₄	#41	1	2	yes	—
92	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
96	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
97	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
98	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
101	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	M₁₆	—	2	2	no	—
106	M₁₆	—	2	2	no	—
107	M₁₆	—	2	4	no	—
108	M₁₆	—	2	2	no	—
109	M₁₆	—	2	4	no	—
110	M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
111	C₂×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂×C₈	—	2	4	no	—
113	C₂×C₈	—	2	2	no	—
114	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
115	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
116	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
119	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
122	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
125	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
126	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
128	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
129	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
131	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂³	—	2	2	no	—
133	C₂³	—	2	2	no	—
134	C₂³	—	4	2	no	—
135	C₂³	—	4	2	no	—
136	C₂³	C₄×Q₈	1	4	yes	—
137	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
138	Q₈	—	2	4	no	—
139	Q₈	—	4	2	no	—
140	Q₈	—	8	4	no	—
141	D₄	—	2	4	no	—
142	D₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄	—	4	2	no	—
147	C₂×C₄	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄	—	4	1	no	—
149	C₂×C₄	—	4	4	no	—
150	C₂×C₄	—	4	4	no	—
151	C₂×C₄	—	4	2	no	—
152	C₂×C₄	—	4	4	no	—
153	C₂×C₄	—	8	4	no	—
154	C₂×C₄	—	8	4	no	—
155	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
156	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
165	C₈	—	2	4	no	—
166	C₈	—	4	4	no	—
167	C₈	—	4	2	no	—
168	C₂²	—	2	1	no	—
169	C₂²	—	2	1	no	—
170	C₂²	—	2	4	no	—
171	C₂²	—	4	4	no	—
172	C₂²	—	4	4	no	—
173	C₂²	—	4	2	no	—
174	C₂²	—	4	2	no	—
175	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂²	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
177	C₂²	#519	1	1	yes	characteristic
178	C₄	—	2	1	no	—
179	C₄	—	2	4	no	—
180	C₄	—	2	2	no	—
181	C₄	—	2	2	no	—
182	C₄	—	2	2	no	—
183	C₄	—	4	2	no	—
184	C₄	—	4	4	no	—
185	C₄	#413	1	2	yes	—
186	C₄	#548	1	2	yes	—
187	C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
188	C₂	—	2	1	no	—
189	C₂	—	2	1	no	—
190	C₂	—	4	4	no	—
191	C₂	Q₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
193	C₂	#2888	1	1	yes	characteristic

subgroup

G/H

class size

multiplicity

normal?

properties

C₂×#554

C₂

yes

maximal, characteristic

Q₈×M₁₆

C₂

yes

maximal, complemented

#1998

C₂

yes

maximal, complemented

#1997

C₂

yes

maximal, complemented

#1800

C₂

yes

maximal

#1800

C₂

yes

maximal, characteristic

C₄×#100

C₂

yes

maximal

C₄×#100

C₂

yes

maximal, characteristic

#554

—

#554

—

#554

—

C₂×C₄⋊Q₈

C₂²

yes

characteristic

C₂×#125

C₂²

yes

—

C₂×C₂²⋊Q₈

C₄

yes

—

C₂×C₂²⋊Q₈

C₄

yes

—

C₂×C₄×Q₈

C₂²

yes

characteristic

C₂×C₄×D₄

C₂²

yes

—

C₂×C₄×D₄

C₂²

yes

characteristic

C₂²×C₄⋊C₄

C₄

yes

—

#446

—

#446

—

C₈×Q₈

—

#423

C₂²

yes

—

#423

C₂²

yes

—

C₂×#100

C₂²

yes

characteristic

C₂×#100

C₂²

yes

—

C₂×#100

C₂²

yes

characteristic

C₄×M₁₆

C₂²

yes

—

C₄×M₁₆

C₂²

yes

—

#343

C₂²

yes

—

#343

C₂²

yes

—

#343

C₂²

yes

—

#343

C₂²

yes

—

C₂²×Q₈

C₂×C₄

yes

—

C₂²×Q₈

C₂×C₄

yes

characteristic

C₂²×D₄

C₂³

yes

characteristic

C₂³×C₄

C₂×C₄

yes

—

C₂³×C₄

C₂×C₄

yes

—

C₂×M₁₆

C₂³

yes

—

C₂×M₁₆

C₂³

yes

—

C₂×M₁₆

C₂³

yes

—

C₄⋊Q₈

—

C₄⋊Q₈

—

#125

—

#125

—

C₂²⋊Q₈

—

C₂²⋊Q₈

—

C₂²⋊Q₈

—

C₂²⋊Q₈

—

C₄×Q₈

D₄

yes

—

C₄×Q₈

D₄

yes

—

C₄×Q₈

D₄

yes

—

C₄×D₄

—

C₄×D₄

—

C₄×D₄

—

C₄×D₄

—

C₂×C₄⋊C₄

—

C₂×C₄⋊C₄

—

C₂×C₄⋊C₄

—

C₂×C₄⋊C₄

C₂×C₄

yes

—

C₂×C₄⋊C₄

C₂×C₄

yes

—

C₂×C₄⋊C₄

C₂×C₄

yes

—

C₂×C₄⋊C₄

C₂×C₄

yes

characteristic

C₂×C₄⋊C₄

C₂×C₄

yes

—

C₂×C₄⋊C₄

C₂³

yes

characteristic

C₂×C₄⋊C₄

C₂³

yes

—

C₂×C₂²⋊C₄

C₂×C₄

yes

—

C₂×C₂²⋊C₄

C₂×C₄

yes

—

C₂×C₄²

C₂³

yes

—

C₂×C₄²

C₂³

yes

characteristic

C₄⋊C₈

—

C₄⋊C₈

—

C₄⋊C₈

—

C₄⋊C₈

—

#100

—

#100

—

#100

Q₈

yes

complemented

#97

—

#97

—

C₄×C₈

—

C₄×C₈

—

C₂⁴

C₂²×C₄

yes

—

C₂×Q₈

—

C₂×Q₈

—

C₂×Q₈

—

C₂×Q₈

C₂²⋊C₄

yes

—

C₂×Q₈

C₂²⋊C₄

yes

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

C₂×Q₈

yes

—

C₂×D₄

#41

yes

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

—

C₂²×C₄

yes

characteristic

C₂²×C₄

yes

—

100

C₂²×C₄

yes

—

101

C₂²×C₄

yes

—

102

C₂²×C₄

yes

characteristic

103

C₂²×C₄

yes

—

104

C₂²×C₄

C₂⁴

yes

characteristic

105

M₁₆

—

106

M₁₆

—

107

M₁₆

—

108

M₁₆

—

109

M₁₆

—

110

M₁₆

C₂×Q₈

yes

—

111

C₂×C₈

—

112

C₂×C₈

—

113

C₂×C₈

—

114

C₄⋊C₄

—

115

C₄⋊C₄

—

116

C₄⋊C₄

—

117

C₄⋊C₄

—

118

C₄⋊C₄

—

119

C₄⋊C₄

—

120

C₄⋊C₄

—

121

C₄⋊C₄

C₂²⋊C₄

yes

—

122

C₄⋊C₄

C₂²⋊C₄

yes

characteristic

123

C₄⋊C₄

C₂²⋊C₄

yes

characteristic

124

C₄⋊C₄

C₂²⋊C₄

yes

—

125

C₄⋊C₄

C₂²⋊C₄

yes

—

126

C₂²⋊C₄

—

127

C₂²⋊C₄

—

128

C₄²

C₂×D₄

yes

—

129

C₄²

C₂×D₄

yes

—

130

C₄²

C₂×D₄

yes

—

131

C₄²

C₂×D₄

yes

—

132

C₂³

—

133

C₂³

—

134

C₂³

—

135

C₂³

—

136

C₂³

C₄×Q₈

yes

—

137

C₂³

C₂³×C₄

yes

characteristic

138

Q₈

—

139

Q₈

—

140

Q₈

—

141

D₄

—

142

D₄

—

143

C₂×C₄

—

144

C₂×C₄

—

145

C₂×C₄

—

146

C₂×C₄

—

147

C₂×C₄

—

148

C₂×C₄

—

149

C₂×C₄

—

150

C₂×C₄

—

151

C₂×C₄

—

152

C₂×C₄

—

153

C₂×C₄

—

154

C₂×C₄

—

155

C₂×C₄

C₂×C₂²⋊C₄

yes

—

156

C₂×C₄

C₂×C₂²⋊C₄

yes

—

157

C₂×C₄

C₂×C₂²⋊C₄

yes

—

158

C₂×C₄

C₂×C₂²⋊C₄

yes

—

159

C₂×C₄

C₂×C₂²⋊C₄

yes

characteristic

160

C₂×C₄

C₂×C₂²⋊C₄

yes

characteristic

161

C₂×C₄

C₂²×D₄

yes

—

162

C₂×C₄

C₂²×Q₈

yes

characteristic

163

C₂×C₄

C₂×#41

yes

characteristic

164

C₂×C₄

2₋¹⁺⁴

yes

—

165

C₈

—

166

C₈

—

167

C₈

—

168

C₂²

—

169

C₂²

—

170

C₂²

—

171

C₂²

—

172

C₂²

—

173

C₂²

—

174

C₂²

—

175

C₂²

C₂²×C₂²⋊C₄

yes

characteristic

176

C₂²

C₂×C₄×Q₈

yes

characteristic

177

C₂²

#519

yes

characteristic

178

C₄

—

179

C₄

—

180

C₄

—

181

C₄

—

182

C₄

—

183

C₄

—

184

C₄

—

185

C₄

#413

yes

—

186

C₄

#548

yes

—

187

C₄

D₄×Q₈

yes

—

188

C₂

—

189

C₂

—

190

C₂

—

191

C₂

Q₈×C₂²⋊C₄

yes

characteristic

192

C₂

C₂×#413

yes

characteristic

193

C₂

#2888

yes

characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

subgroup

G/H

center, socle

C₂²

C₂²×C₂²⋊C₄

commutator

C₂³

C₂³×C₄

Frattini, cosocle

C₂²×C₄

C₂⁴

prime radical

C₂²×D₄

C₂³

LCS

G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁

UCS

C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄×Q₈ ◁ G

LECS

G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

N	H ≅ G/N	type
2. Q₈×M₁₆	C₂	semidirect
3. #1998	C₂	semidirect
4. #1997	C₂	semidirect
77. #100	Q₈	semidirect

H ≅ G/N

type

2. Q₈×M₁₆

C₂

semidirect

3. #1998

C₂

semidirect

4. #1997

C₂

semidirect

77. #100

Q₈

semidirect

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#554	2
Q₈×M₁₆	2
#1998	2
#1997	2
#1800	2
C₄×#100	2

subgroup

index

Q₈×M₁₆

Subgroups — #22515

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups