Subgroups — #22529

Order 256.

502 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 327 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	Q₈×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	Q₈×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2295	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1995	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1994	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1986	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1986	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1806	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#1806	C₂	1	2	yes	maximal
10	#1759	C₂	1	2	yes	maximal
11	C₄×#104	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	Q₈²	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
13	#557	C₄	1	2	yes	complemented
14	#557	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
15	#554	—	2	2	no	—
16	#554	—	2	1	no	—
17	#554	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
18	#554	C₄	1	2	yes	complemented
19	D₄×Q₈	—	2	1	no	—
20	D₄×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
21	#533	—	2	1	no	—
22	#533	—	2	2	no	—
23	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#533	C₂²	1	2	yes	—
25	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
28	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#446	—	2	1	no	—
30	#446	—	2	2	no	—
31	C₈×Q₈	—	2	1	no	—
32	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#423	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#104	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#104	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
39	#391	—	2	1	no	—
40	#389	—	2	1	no	—
41	#387	—	2	2	no	—
42	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
44	#376	C₂²	1	2	yes	—
45	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#339	C₂²	1	2	yes	—
47	#339	C₂²	1	2	yes	—
48	#339	C₂²	1	2	yes	—
49	#339	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	#339	C₂²	1	2	yes	—
51	#339	C₂²	1	2	yes	—
52	#339	C₂²	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
55	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
60	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
61	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
62	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
63	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	#125	—	2	2	no	—
68	#125	—	2	2	no	—
69	#125	—	2	2	no	—
70	#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
74	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
75	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
76	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
77	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
78	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
79	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
80	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
81	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
82	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
83	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
84	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
85	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
86	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
87	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
88	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
89	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
90	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
91	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
98	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
101	C₄×D₄	—	2	1	no	—
102	C₄×D₄	—	2	2	no	—
103	C₄×D₄	—	2	1	no	—
104	C₄×D₄	—	2	2	no	—
105	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
107	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
109	#117	—	2	2	no	—
110	#117	—	2	1	no	—
111	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	#117	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
120	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
122	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
123	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
128	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
129	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
130	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
131	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
132	#104	—	2	2	no	—
133	#104	—	2	4	no	—
134	#104	Q₈	1	4	yes	complemented
135	#97	—	2	2	no	—
136	#97	—	2	1	no	—
137	C₄×C₈	—	2	1	no	—
138	C₄×C₈	—	2	2	no	—
139	#95	—	2	2	no	—
140	#95	—	2	2	no	—
141	#95	—	2	1	no	—
142	#95	—	2	2	no	—
143	#41	—	2	1	no	—
144	#41	—	2	1	no	—
145	#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
146	#41	#41	1	2	yes	—
147	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
148	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
149	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
150	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
151	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
152	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
153	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
156	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×D₄	—	2	1	no	—
158	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
172	M₁₆	—	2	1	no	—
173	M₁₆	—	2	1	no	—
174	M₁₆	—	2	2	no	—
175	M₁₆	—	2	2	no	—
176	M₁₆	—	2	1	no	—
177	M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	complemented
178	C₂×C₈	—	2	1	no	—
179	C₂×C₈	—	2	1	no	—
180	C₂×C₈	—	2	2	no	—
181	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
190	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
192	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
196	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
197	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
198	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
199	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
200	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
201	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
202	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
203	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
204	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
206	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
207	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
208	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
214	C₄²	—	2	1	no	—
215	C₄²	—	2	2	no	—
216	C₄²	—	2	2	no	—
217	C₄²	—	2	1	no	—
218	C₄²	—	2	1	no	—
219	C₄²	—	2	2	no	—
220	C₄²	—	2	1	no	—
221	C₄²	—	2	1	no	—
222	C₄²	—	2	2	no	—
223	C₄²	—	2	1	no	—
224	C₄²	—	2	2	no	—
225	C₄²	—	4	2	no	—
226	C₄²	—	4	2	no	—
227	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
229	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
230	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
233	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
234	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	complemented
236	C₂³	—	2	1	no	—
237	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
238	Q₈	—	2	1	no	—
239	Q₈	—	2	2	no	—
240	Q₈	—	2	2	no	—
241	Q₈	—	4	2	no	—
242	Q₈	—	4	4	no	—
243	Q₈	—	4	2	no	—
244	Q₈	—	8	1	no	—
245	Q₈	—	8	2	no	—
246	Q₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
247	D₄	—	2	2	no	—
248	D₄	—	2	2	no	—
249	D₄	—	2	1	no	—
250	D₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
251	C₂×C₄	—	2	1	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	1	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	1	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	4	1	no	—
262	C₂×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂×C₄	—	4	1	no	—
266	C₂×C₄	—	4	1	no	—
267	C₂×C₄	—	4	1	no	—
268	C₂×C₄	—	4	1	no	—
269	C₂×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂×C₄	—	4	2	no	—
271	C₂×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂×C₄	—	8	1	no	—
274	C₂×C₄	—	8	2	no	—
275	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
289	C₈	—	2	2	no	—
290	C₈	—	4	1	no	—
291	C₈	—	4	2	no	—
292	C₂²	—	2	1	no	—
293	C₂²	—	2	1	no	—
294	C₂²	—	2	2	no	—
295	C₂²	—	4	1	no	—
296	C₂²	—	4	1	no	—
297	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂²	#548	1	1	yes	characteristic
299	C₂²	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
300	C₄	—	2	2	no	—
301	C₄	—	2	1	no	—
302	C₄	—	2	2	no	—
303	C₄	—	2	2	no	—
304	C₄	—	2	1	no	—
305	C₄	—	2	2	no	—
306	C₄	—	2	1	no	—
307	C₄	—	2	2	no	—
308	C₄	—	4	2	no	—
309	C₄	—	4	2	no	—
310	C₄	—	4	2	no	—
311	C₄	—	4	1	no	—
312	C₄	—	4	2	no	—
313	C₄	—	4	1	no	—
314	C₄	—	8	2	no	—
315	C₄	#421	1	2	yes	—
316	C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
317	C₄	#519	1	1	yes	characteristic
318	C₄	#548	1	1	yes	characteristic
319	C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
320	C₂	—	2	1	no	—
321	C₂	—	2	1	no	—
322	C₂	—	4	2	no	—
323	C₂	Q₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
324	C₂	C₂×#421	1	1	yes	characteristic
325	C₂	#2901	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. Q₈×M₁₆	C₂	semidirect
3. #2295	C₂	semidirect
4. #1995	C₂	semidirect
5. #1994	C₂	semidirect
6. #1986	C₂	semidirect
7. #1986	C₂	semidirect
12. Q₈²	C₄	semidirect
13. #557	C₄	semidirect
14. #557	C₄	semidirect
17. #554	C₄	semidirect
18. #554	C₄	semidirect
20. D₄×Q₈	C₄	semidirect
134. #104	Q₈	semidirect
177. M₁₆	C₂×Q₈	semidirect
235. C₄²	C₂×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
Q₈×#41	2
Q₈×M₁₆	2
#2295	2
#1995	2
#1994	2
#1986	2
#1806	2
#1759	2
C₄×#104	2