Group #22539 — subgroups

Subgroups — #22539

Order 256.

533 conjugacy classes of subgroups; only the 189 normal subgroups are shown.

normal subgroups only

This group has 533 conjugacy classes of subgroups — too many to draw. Only its 189 normal subgroups are shown.

Dotted edges: containments with no intermediate normal subgroup — omitted non-normal subgroups may lie between.

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#559	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	Q₈×M₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#1967	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#1965	C₂	1	2	yes	maximal
5	#1801	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1800	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₄×#101	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₄×#100	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#559	—	2	2	no	—
10	#559	—	2	4	no	—
11	#559	—	2	2	no	—
12	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#124	C₄	1	2	yes	—
14	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#123	C₄	1	4	yes	—
16	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×D₄	C₄	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
20	#446	—	2	4	no	—
21	#446	—	2	2	no	—
22	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
23	#423	C₂²	1	4	yes	—
24	#423	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#101	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#101	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#100	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#100	C₂²	1	4	yes	—
29	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
31	#343	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#343	C₂²	1	2	yes	—
33	#343	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	#127	—	2	2	no	—
44	#127	—	2	2	no	—
45	#124	—	2	4	no	—
46	#124	—	2	4	no	—
47	#124	—	2	4	no	—
48	#124	—	2	4	no	—
49	#123	—	2	8	no	—
50	#123	—	2	8	no	—
51	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
52	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
53	C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
54	C₄×Q₈	D₄	1	4	yes	—
55	C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
56	C₄×D₄	—	2	4	no	—
57	C₄×D₄	—	2	2	no	—
58	C₄×D₄	—	2	2	no	—
59	C₄×D₄	—	2	4	no	—
60	C₄×D₄	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
72	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
73	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
74	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
75	#101	—	2	4	no	—
76	#101	—	4	2	no	—
77	#100	—	2	8	no	—
78	#100	—	4	4	no	—
79	#97	—	2	4	no	—
80	#97	—	2	2	no	—
81	C₄×C₈	—	2	4	no	—
82	C₄×C₈	—	2	2	no	—
83	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
84	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
85	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
86	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
87	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
88	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
89	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
90	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
91	C₂×D₄	—	2	2	no	—
92	C₂×D₄	—	2	2	no	—
93	C₂×D₄	—	2	4	no	—
94	C₂×D₄	—	2	4	no	—
95	C₂×D₄	—	2	4	no	—
96	C₂×D₄	—	2	2	no	—
97	C₂×D₄	—	2	2	no	—
98	C₂×D₄	—	4	4	no	—
99	C₂×D₄	—	8	2	no	—
100	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
101	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
102	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
103	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	M₁₆	—	2	2	no	—
111	M₁₆	—	2	4	no	—
112	M₁₆	—	2	2	no	—
113	M₁₆	—	2	2	no	—
114	M₁₆	—	2	4	no	—
115	M₁₆	#41	1	4	yes	—
116	C₂×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂×C₈	—	2	4	no	—
118	C₂×C₈	—	2	2	no	—
119	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
120	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
121	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
122	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
125	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
126	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
129	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
130	C₄²	—	2	2	no	—
131	C₄²	—	2	2	no	—
132	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂³	—	2	4	no	—
137	C₂³	—	2	4	no	—
138	C₂³	—	2	4	no	—
139	C₂³	—	4	4	no	—
140	C₂³	—	4	4	no	—
141	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
142	Q₈	—	2	4	no	—
143	Q₈	—	4	2	no	—
144	Q₈	—	4	2	no	—
145	Q₈	—	4	2	no	—
146	D₄	—	4	4	no	—
147	D₄	—	4	4	no	—
148	D₄	—	4	4	no	—
149	D₄	—	4	4	no	—
150	D₄	—	8	4	no	—
151	C₂×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄	—	4	2	no	—
157	C₂×C₄	—	4	1	no	—
158	C₂×C₄	—	4	2	no	—
159	C₂×C₄	—	4	2	no	—
160	C₂×C₄	—	8	4	no	—
161	C₂×C₄	—	8	4	no	—
162	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
164	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
170	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
172	C₈	—	2	4	no	—
173	C₈	—	4	4	no	—
174	C₈	—	4	2	no	—
175	C₂²	—	2	1	no	—
176	C₂²	—	2	1	no	—
177	C₂²	—	4	4	no	—
178	C₂²	—	4	4	no	—
179	C₂²	—	4	4	no	—
180	C₂²	—	8	4	no	—
181	C₂²	—	8	4	no	—
182	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂²	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
184	C₂²	#520	1	1	yes	characteristic
185	C₄	—	2	1	no	—
186	C₄	—	2	4	no	—
187	C₄	—	2	2	no	—
188	C₄	—	2	2	no	—
189	C₄	—	2	2	no	—
190	C₄	—	4	2	no	—
191	C₄	—	4	2	no	—
192	C₄	#413	1	2	yes	—
193	C₄	#548	1	2	yes	—
194	C₄	#550	1	2	yes	—
195	C₂	—	2	1	no	—
196	C₂	—	2	1	no	—
197	C₂	—	8	4	no	—
198	C₂	#2341	1	1	yes	characteristic
199	C₂	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
200	C₂	#2888	1	1	yes	characteristic

subgroup

G/H

class size

multiplicity

normal?

properties

C₂×#559

C₂

yes

maximal, characteristic

Q₈×M₁₆

C₂

yes

maximal, complemented

#1967

C₂

yes

maximal, complemented

#1965

C₂

yes

maximal

#1801

C₂

yes

maximal, characteristic, complemented

#1800

C₂

yes

maximal, complemented

C₄×#101

C₂

yes

maximal, characteristic, complemented

C₄×#100

C₂

yes

maximal, complemented

—

—

—

C₂²

yes

characteristic

C₂×#124

C₄

yes

—

C₂×#124

C₂²

yes

—

C₂×#123

C₄

yes

—

C₂×C₄×Q₈

C₂²

yes

characteristic

C₂×C₄×Q₈

C₂²

yes

characteristic

C₂×C₄×D₄

C₄

yes

—

C₂×C₄×D₄

C₂²

yes

—

#446

—

#446

—

C₈×Q₈

—

#423

C₂²

yes

—

#423

C₂²

yes

—

C₂×#101

C₂²

yes

—

C₂×#101

C₂²

yes

—

C₂×#100

C₂²

yes

—

C₂×#100

C₂²

yes

—

C₄×M₁₆

C₂²

yes

—

C₄×M₁₆

C₂²

yes

—

#343

C₂²

yes

characteristic

#343

C₂²

yes

—

#343

C₂²

yes

characteristic

C₂²×Q₈

C₂×C₄

yes

characteristic

C₂²×Q₈

C₂³

yes

characteristic

C₂²×D₄

C₂×C₄

yes

—

C₂²×D₄

C₂×C₄

yes

—

C₂²×D₄

C₂³

yes

—

C₂³×C₄

C₂×C₄

yes

—

C₂×M₁₆

C₂³

yes

—

C₂×M₁₆

C₂³

yes

—

C₂×M₁₆

C₂³

yes

—

—

—

—

—

—

—

—

—

C₄×Q₈

—

C₄×Q₈

—

C₄×Q₈

D₄

yes

—

C₄×Q₈

D₄

yes

—

C₄×Q₈

D₄

yes

—

C₄×D₄

—

C₄×D₄

—

C₄×D₄

—

C₄×D₄

—

C₄×D₄

—

C₂×C₄⋊C₄

C₂×C₄

yes

—

C₂×C₄⋊C₄

C₂×C₄

yes

characteristic

C₂×C₄⋊C₄

C₂×C₄

yes

—

C₂×C₄⋊C₄

C₂³

yes

characteristic

C₂×C₂²⋊C₄

C₂×C₄

yes

—

C₂×C₂²⋊C₄

C₂×C₄

yes

—

C₂×C₂²⋊C₄

C₂×C₄

yes

—

C₂×C₄²

C₂×C₄

yes

—

C₂×C₄²

C₂³

yes

—

C₂×C₄²

C₂³

yes

characteristic

C₄⋊C₈

—

C₄⋊C₈

—

C₄⋊C₈

—

C₄⋊C₈

—

—

—

—

—

—

—

C₄×C₈

—

C₄×C₈

—

C₂⁴

C₂²×C₄

yes

—

C₂×Q₈

—

C₂×Q₈

—

C₂×Q₈

—

C₂×Q₈

—

C₂×Q₈

—

C₂×Q₈

C₂²⋊C₄

yes

—

C₂×Q₈

C₂²⋊C₄

yes

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

C₂×D₄

—

100

C₂²×C₄

—

101

C₂²×C₄

—

102

C₂²×C₄

—

103

C₂²×C₄

yes

—

104

C₂²×C₄

yes

characteristic

105

C₂²×C₄

yes

—

106

C₂²×C₄

yes

—

107

C₂²×C₄

yes

—

108

C₂²×C₄

yes

characteristic

109

C₂²×C₄

C₂⁴

yes

characteristic

110

M₁₆

—

111

M₁₆

—

112

M₁₆

—

113

M₁₆

—

114

M₁₆

—

115

M₁₆

#41

yes

—

116

C₂×C₈

—

117

C₂×C₈

—

118

C₂×C₈

—

119

C₄⋊C₄

—

120

C₄⋊C₄

—

121

C₄⋊C₄

C₂²⋊C₄

yes

—

122

C₄⋊C₄

C₂²⋊C₄

yes

characteristic

123

C₄⋊C₄

C₂²⋊C₄

yes

characteristic

124

C₄⋊C₄

C₂²⋊C₄

yes

—

125

C₄⋊C₄

C₂²⋊C₄

yes

—

126

C₂²⋊C₄

—

127

C₂²⋊C₄

—

128

C₂²⋊C₄

—

129

C₂²⋊C₄

—

130

C₄²

—

131

C₄²

—

132

C₄²

C₂×D₄

yes

—

133

C₄²

C₂×D₄

yes

—

134

C₄²

C₂×D₄

yes

—

135

C₄²

C₂×D₄

yes

—

136

C₂³

—

137

C₂³

—

138

C₂³

—

139

C₂³

—

140

C₂³

—

141

C₂³

C₂³×C₄

yes

characteristic

142

Q₈

—

143

Q₈

—

144

Q₈

—

145

Q₈

—

146

D₄

—

147

D₄

—

148

D₄

—

149

D₄

—

150

D₄

—

151

C₂×C₄

—

152

C₂×C₄

—

153

C₂×C₄

—

154

C₂×C₄

—

155

C₂×C₄

—

156

C₂×C₄

—

157

C₂×C₄

—

158

C₂×C₄

—

159

C₂×C₄

—

160

C₂×C₄

—

161

C₂×C₄

—

162

C₂×C₄

C₂×C₂²⋊C₄

yes

characteristic

163

C₂×C₄

C₂×C₂²⋊C₄

yes

—

164

C₂×C₄

C₂×C₂²⋊C₄

yes

—

165

C₂×C₄

C₂×C₂²⋊C₄

yes

—

166

C₂×C₄

C₂×C₂²⋊C₄

yes

—

167

C₂×C₄

C₂×C₂²⋊C₄

yes

characteristic

168

C₂×C₄

C₂²×D₄

yes

—

169

C₂×C₄

C₂×#41

yes

—

170

C₂×C₄

H(5,𝔽₂)

yes

characteristic

171

C₂×C₄

2₋¹⁺⁴

yes

characteristic

172

C₈

—

173

C₈

—

174

C₈

—

175

C₂²

—

176

C₂²

—

177

C₂²

—

178

C₂²

—

179

C₂²

—

180

C₂²

—

181

C₂²

—

182

C₂²

C₂²×C₂²⋊C₄

yes

characteristic

183

C₂²

C₄×#41

yes

characteristic

184

C₂²

#520

yes

characteristic

185

C₄

—

186

C₄

—

187

C₄

—

188

C₄

—

189

C₄

—

190

C₄

—

191

C₄

—

192

C₄

#413

yes

—

193

C₄

#548

yes

—

194

C₄

#550

yes

—

195

C₂

—

196

C₂

—

197

C₂

—

198

C₂

#2341

yes

characteristic

199

C₂

C₂×#413

yes

characteristic

200

C₂

#2888

yes

characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

subgroup

G/H

center, socle

C₂²

C₂²×C₂²⋊C₄

commutator

C₂³

C₂³×C₄

Frattini, cosocle

C₂²×C₄

C₂⁴

C₂²

G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁

C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄×Q₈ ◁ G

LECS

G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

N	H ≅ G/N	type
2. Q₈×M₁₆	C₂	semidirect
3. #1967	C₂	semidirect
5. #1801	C₂	semidirect
6. #1800	C₂	semidirect
7. C₄×#101	C₂	semidirect
8. C₄×#100	C₂	semidirect

H ≅ G/N

type

2. Q₈×M₁₆

C₂

semidirect

3. #1967

C₂

semidirect

5. #1801

C₂

semidirect

6. #1800

C₂

semidirect

7. C₄×#101

C₂

semidirect

8. C₄×#100

C₂

semidirect

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#559	2
Q₈×M₁₆	2
#1967	2
#1965	2
#1801	2
#1800	2
C₄×#101	2
C₄×#100	2

subgroup

index

Q₈×M₁₆

Subgroups — #22539

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups