Subgroups — #225393

Order 512.

776 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 378 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22748	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₄×#436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1565	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9603	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8831	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8829	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8807	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#8597	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₄×#335	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#436	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#436	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#1923	—	2	2	no	—
17	#1916	—	2	2	no	—
18	#1869	—	2	2	no	—
19	#1831	C₂²	1	2	yes	—
20	#1797	C₂²	1	2	yes	—
21	#1797	C₂²	1	2	yes	—
22	#1770	C₄	1	1	yes	characteristic
23	#1770	C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1753	C₄	1	2	yes	—
27	#1753	C₄	1	2	yes	—
28	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
29	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1565	—	2	8	no	—
32	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
39	#1277	C₂²	1	2	yes	—
40	#1277	C₂²	1	2	yes	—
41	#1277	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
49	#436	—	2	4	no	—
50	#436	C₈	1	8	yes	complemented
51	#431	—	2	4	no	—
52	#431	—	4	2	no	—
53	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
56	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
68	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
69	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₄×C₄⋊C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
83	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
85	C₄×C₂²⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
86	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#336	—	2	2	no	—
88	#336	—	2	2	no	—
89	#336	—	2	2	no	—
90	#336	—	2	2	no	—
91	#336	—	2	2	no	—
92	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	#335	—	2	4	no	—
96	#335	—	2	2	no	—
97	#335	—	4	1	no	—
98	#335	—	4	1	no	—
99	#335	D₄	1	4	yes	complemented
100	#334	—	2	4	no	—
101	#334	—	2	4	no	—
102	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
106	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
110	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
111	C₂×M₁₆	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
117	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
118	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
119	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₄×D₄	—	4	2	no	—
126	C₄×D₄	—	4	1	no	—
127	C₄×D₄	—	4	1	no	—
128	C₄×D₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
129	C₄×D₄	M₁₆	1	4	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
150	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
154	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
156	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
157	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
158	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
159	C₄⋊C₈	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
160	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
162	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
163	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
164	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
165	C₂²⋊C₈	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
166	#97	—	2	4	no	—
167	#97	—	2	4	no	—
168	C₄×C₈	—	2	2	no	—
169	C₄×C₈	—	2	2	no	—
170	C₄×C₈	—	2	2	no	—
171	C₄×C₈	—	2	2	no	—
172	C₄×C₈	—	2	1	no	—
173	C₄×C₈	—	2	1	no	—
174	C₄×C₈	—	4	1	no	—
175	C₄×C₈	—	4	4	no	—
176	C₄×C₈	—	8	2	no	—
177	C₄×C₈	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
178	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
180	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
181	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
182	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
183	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
184	C₂×D₄	—	4	1	no	—
185	C₂×D₄	—	4	1	no	—
186	C₂×D₄	C₄⋊C₈	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
213	M₁₆	—	2	16	no	—
214	M₁₆	—	4	8	no	—
215	C₂×C₈	—	2	2	no	—
216	C₂×C₈	—	2	1	no	—
217	C₂×C₈	—	2	1	no	—
218	C₂×C₈	—	2	2	no	—
219	C₂×C₈	—	2	1	no	—
220	C₂×C₈	—	2	1	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	2	1	no	—
223	C₂×C₈	—	2	4	no	—
224	C₂×C₈	—	2	1	no	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	—	2	1	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	4	2	no	—
229	C₂×C₈	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	2	no	—
234	C₂×C₈	—	4	2	no	—
235	C₂×C₈	—	4	2	no	—
236	C₂×C₈	—	4	2	no	—
237	C₂×C₈	—	4	2	no	—
238	C₂×C₈	—	4	2	no	—
239	C₂×C₈	—	8	8	no	—
240	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
241	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
242	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
243	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	4	yes	—
244	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
245	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
246	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
248	C₄⋊C₄	C₄⋊C₈	1	4	yes	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
251	C₂²⋊C₄	C₄⋊C₈	1	8	yes	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	2	2	no	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	2	2	no	—
257	C₄²	—	2	2	no	—
258	C₄²	—	2	1	no	—
259	C₄²	—	2	1	no	—
260	C₄²	—	2	1	no	—
261	C₄²	—	2	1	no	—
262	C₄²	—	2	1	no	—
263	C₄²	—	2	1	no	—
264	C₄²	—	2	2	no	—
265	C₄²	—	4	1	no	—
266	C₄²	C₂²×C₈	1	2	yes	—
267	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
268	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
270	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
271	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	C₂×C₄⋊C₈	1	4	yes	—
279	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
280	D₄	—	4	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	1	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	8	2	no	—
309	C₂×C₄	—	8	2	no	—
310	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	#430	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#575	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#575	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
328	C₈	—	2	4	no	—
329	C₈	—	2	2	no	—
330	C₈	—	2	2	no	—
331	C₈	—	4	2	no	—
332	C₈	—	4	1	no	—
333	C₈	—	4	4	no	—
334	C₈	—	8	2	no	—
335	C₈	—	8	2	no	—
336	C₈	—	8	2	no	—
337	C₈	C₈×D₄	1	4	yes	—
338	C₂²	—	2	4	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	2	4	no	—
341	C₂²	—	4	2	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	—	4	2	no	—
344	C₂²	—	4	2	no	—
345	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂²×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#2906	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#2911	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#2913	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	C₂×#430	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	#2916	1	1	yes	characteristic
352	C₄	—	2	4	no	—
353	C₄	—	2	2	no	—
354	C₄	—	2	2	no	—
355	C₄	—	2	1	no	—
356	C₄	—	2	1	no	—
357	C₄	—	2	2	no	—
358	C₄	—	4	2	no	—
359	C₄	—	4	2	no	—
360	C₄	—	4	1	no	—
361	C₄	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
362	C₄	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
363	C₄	#2988	1	1	yes	characteristic
364	C₄	#2990	1	1	yes	characteristic
365	C₄	#3273	1	1	yes	characteristic
366	C₄	#3277	1	1	yes	characteristic
367	C₄	#3352	1	1	yes	characteristic
368	C₄	#3355	1	1	yes	characteristic
369	C₂	—	4	4	no	—
370	C₂	#17787	1	1	yes	characteristic
371	C₂	#17789	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#17833	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#17840	1	1	yes	characteristic
374	C₂	D₄×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#22664	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#22669	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂²×D₄	C₄⋊C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄²×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1565	C₂	semidirect
4. #9603	C₂	semidirect
5. #8831	C₂	semidirect
6. #8829	C₂	semidirect
7. #8807	C₂	semidirect
8. #8597	C₂	semidirect
9. C₄×#335	C₂	semidirect
50. #436	C₈	semidirect
99. #335	D₄	semidirect
111. C₂×M₁₆	C₂×C₈	semidirect
159. C₄⋊C₈	C₂×C₈	semidirect
165. C₂²⋊C₈	C₂×C₈	semidirect
177. C₄×C₈	C₂×C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22748	2
C₄×#436	2
C₂×#1565	2
#9603	2
#8831	2
#8829	2
#8807	2
#8597	2
C₄×#335	2