Subgroups — #225396

Order 512.

820 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 344 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22650	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₄×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1566	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9602	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8833	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8805	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8595	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×#334	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#436	—	2	2	no	—
10	C₂×C₈×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₈×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#423	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#1939	—	2	2	no	—
16	#1851	—	2	4	no	—
17	#1842	C₂²	1	2	yes	—
18	#1797	C₂²	1	4	yes	—
19	C₈×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
20	C₈×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₈×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
24	C₈×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
25	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1566	—	2	8	no	—
28	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#334	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1277	C₂²	1	2	yes	—
34	#1277	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
36	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
42	#436	—	4	8	no	—
43	C₈×D₄	—	2	4	no	—
44	C₈×D₄	—	2	4	no	—
45	#423	—	2	8	no	—
46	#423	—	4	4	no	—
47	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
56	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₄×C₄⋊C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
73	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
75	C₄×C₂²⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
76	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#336	—	2	4	no	—
78	#336	—	2	2	no	—
79	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#334	—	2	8	no	—
83	#334	—	2	4	no	—
84	#334	—	2	2	no	—
85	#334	—	4	2	no	—
86	#334	D₄	1	4	yes	complemented
87	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
91	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
92	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
93	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
94	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
95	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
103	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₄×D₄	—	2	4	no	—
110	C₄×D₄	—	2	2	no	—
111	C₄×D₄	—	2	2	no	—
112	C₄×D₄	SD₁₆	1	8	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
131	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
134	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
135	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
136	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
137	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
138	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
139	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
140	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
141	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
142	C₄⋊C₈	M₁₆	1	4	yes	complemented
143	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
145	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
146	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
147	C₄×C₈	—	2	4	no	—
148	C₄×C₈	—	2	4	no	—
149	C₄×C₈	—	2	2	no	—
150	C₄×C₈	—	2	2	no	—
151	C₄×C₈	—	2	2	no	—
152	C₄×C₈	—	2	2	no	—
153	C₄×C₈	—	2	1	no	—
154	C₄×C₈	—	2	1	no	—
155	C₄×C₈	—	4	1	no	—
156	C₄×C₈	—	4	4	no	—
157	C₄×C₈	M₁₆	1	4	yes	complemented
158	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
160	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
161	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
162	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
163	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
164	C₂×D₄	—	2	2	no	—
165	C₂×D₄	—	2	2	no	—
166	C₂×D₄	#106	1	4	yes	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
180	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	8	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
191	M₁₆	—	8	16	no	—
192	C₂×C₈	—	2	2	no	—
193	C₂×C₈	—	2	1	no	—
194	C₂×C₈	—	2	1	no	—
195	C₂×C₈	—	2	1	no	—
196	C₂×C₈	—	2	1	no	—
197	C₂×C₈	—	2	2	no	—
198	C₂×C₈	—	2	2	no	—
199	C₂×C₈	—	2	1	no	—
200	C₂×C₈	—	2	4	no	—
201	C₂×C₈	—	2	1	no	—
202	C₂×C₈	—	2	2	no	—
203	C₂×C₈	—	2	1	no	—
204	C₂×C₈	—	2	2	no	—
205	C₂×C₈	—	4	8	no	—
206	C₂×C₈	—	4	2	no	—
207	C₂×C₈	—	4	2	no	—
208	C₂×C₈	—	4	8	no	—
209	C₂×C₈	—	4	4	no	—
210	C₂×C₈	—	4	2	no	—
211	C₂×C₈	—	4	2	no	—
212	C₂×C₈	—	4	4	no	—
213	C₂×C₈	—	4	4	no	—
214	C₂×C₈	—	4	2	no	—
215	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
216	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
217	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
218	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
219	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
220	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
221	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
222	C₄⋊C₄	#106	1	4	yes	—
223	C₄⋊C₄	#108	1	4	yes	—
224	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²⋊C₄	#106	1	8	yes	—
227	C₄²	—	2	2	no	—
228	C₄²	—	2	2	no	—
229	C₄²	—	2	2	no	—
230	C₄²	—	2	2	no	—
231	C₄²	—	2	2	no	—
232	C₄²	—	2	2	no	—
233	C₄²	—	2	1	no	—
234	C₄²	—	2	1	no	—
235	C₄²	—	2	2	no	—
236	C₄²	—	2	2	no	—
237	C₄²	—	4	1	no	—
238	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
239	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
240	C₄²	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
241	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
243	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
244	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
245	C₂³	—	2	2	no	—
246	C₂³	—	2	2	no	—
247	C₂³	—	2	2	no	—
248	C₂³	—	2	2	no	—
249	C₂³	—	2	2	no	—
250	C₂³	—	2	2	no	—
251	C₂³	C₂×#106	1	4	yes	—
252	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
253	D₄	—	2	8	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	1	no	—
257	C₂×C₄	—	2	1	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	1	no	—
260	C₂×C₄	—	2	1	no	—
261	C₂×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	8	no	—
265	C₂×C₄	—	2	8	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	1	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂×C₄	#423	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	#423	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	C₂×#106	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	C₂×#106	1	4	yes	—
282	C₂×C₄	C₂×#106	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	C₂×#108	1	4	yes	—
284	C₂×C₄	C₂×#108	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
297	C₈	—	2	2	no	—
298	C₈	—	2	4	no	—
299	C₈	—	2	2	no	—
300	C₈	—	4	2	no	—
301	C₈	—	4	1	no	—
302	C₈	—	4	4	no	—
303	C₈	—	8	2	no	—
304	C₈	—	8	4	no	—
305	C₈	#436	1	4	yes	complemented
306	C₂²	—	2	4	no	—
307	C₂²	—	2	4	no	—
308	C₂²	—	2	4	no	—
309	C₂²	—	4	2	no	—
310	C₂²	—	4	2	no	—
311	C₂²	—	4	2	no	—
312	C₂²	—	4	2	no	—
313	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	C₂×#423	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	#2906	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	C₂²×#106	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	#2912	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	C₂²×#108	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	#2916	1	1	yes	characteristic
320	C₄	—	2	4	no	—
321	C₄	—	2	2	no	—
322	C₄	—	2	1	no	—
323	C₄	—	2	1	no	—
324	C₄	—	2	4	no	—
325	C₄	—	2	2	no	—
326	C₄	—	4	2	no	—
327	C₄	—	4	1	no	—
328	C₄	#1566	1	4	yes	complemented
329	C₄	C₂×#436	1	1	yes	characteristic
330	C₄	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
331	C₄	#2989	1	1	yes	characteristic
332	C₄	#2991	1	1	yes	characteristic
333	C₄	D₄×SD₁₆	1	2	yes	—
334	C₄	#3335	1	2	yes	—
335	C₂	—	4	4	no	—
336	C₂	C₂×#1566	1	1	yes	characteristic
337	C₂	#17798	1	1	yes	characteristic
338	C₂	#17826	1	1	yes	characteristic
339	C₂	#17835	1	1	yes	characteristic
340	C₂	#22650	1	1	yes	characteristic
341	C₂	D₄×#106	1	1	yes	characteristic
342	C₂	D₄×#108	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂²×D₄	C₄⋊C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄²×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1566	C₂	semidirect
4. #9602	C₂	semidirect
5. #8833	C₂	semidirect
6. #8805	C₂	semidirect
7. #8595	C₂	semidirect
8. C₄×#334	C₂	semidirect
86. #334	D₄	semidirect
142. C₄⋊C₈	M₁₆	semidirect
157. C₄×C₈	M₁₆	semidirect
305. C₈	#436	semidirect
328. C₄	#1566	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22650	2
C₄×C₈×D₄	2
C₂×#1566	2
#9602	2
#8833	2
#8805	2
#8595	2
C₄×#334	2