Subgroups — #225401

Order 512.

748 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 351 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22799	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₄×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1568	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9602	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8834	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8806	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8596	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×#335	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×C₈×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₈×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#432	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#1954	—	2	2	no	—
15	#1924	—	2	4	no	—
16	#1842	C₂²	1	2	yes	—
17	#1797	C₂²	1	4	yes	—
18	#1770	—	2	2	no	—
19	C₈×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
20	C₈×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₈×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
24	C₈×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
25	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1568	—	2	8	no	—
28	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#334	C₂²	1	4	yes	—
33	#1277	C₂²	1	2	yes	—
34	#1277	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
41	C₈×D₄	—	2	4	no	—
42	C₈×D₄	—	2	4	no	—
43	#432	—	2	8	no	—
44	#432	—	4	4	no	—
45	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
53	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
54	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×#97	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₄×C₄⋊C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
72	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
74	C₄×C₂²⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
75	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#336	—	2	4	no	—
77	#336	—	2	2	no	—
78	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	#335	—	2	4	no	—
82	#335	—	2	2	no	—
83	#335	—	4	2	no	—
84	#335	D₄	1	4	yes	complemented
85	#334	—	2	8	no	—
86	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
90	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
92	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
93	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
94	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
95	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
99	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₄×D₄	—	2	4	no	—
106	C₄×D₄	—	2	2	no	—
107	C₄×D₄	—	2	2	no	—
108	C₄×D₄	—	2	2	no	—
109	C₄×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
128	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
130	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
131	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
132	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
133	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
134	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
135	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
136	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
137	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
138	C₄⋊C₈	M₁₆	1	4	yes	—
139	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
140	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
141	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
142	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
143	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
144	#97	—	4	8	no	—
145	C₄×C₈	—	2	4	no	—
146	C₄×C₈	—	2	4	no	—
147	C₄×C₈	—	2	2	no	—
148	C₄×C₈	—	2	2	no	—
149	C₄×C₈	—	2	2	no	—
150	C₄×C₈	—	2	2	no	—
151	C₄×C₈	—	2	1	no	—
152	C₄×C₈	—	2	1	no	—
153	C₄×C₈	—	4	1	no	—
154	C₄×C₈	—	4	4	no	—
155	C₄×C₈	M₁₆	1	4	yes	—
156	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
158	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
159	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
160	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
162	C₂×D₄	—	2	2	no	—
163	C₂×D₄	—	2	2	no	—
164	C₂×D₄	#108	1	4	yes	—
165	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
181	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₈	—	2	2	no	—
192	C₂×C₈	—	2	1	no	—
193	C₂×C₈	—	2	1	no	—
194	C₂×C₈	—	2	1	no	—
195	C₂×C₈	—	2	1	no	—
196	C₂×C₈	—	2	2	no	—
197	C₂×C₈	—	2	2	no	—
198	C₂×C₈	—	2	1	no	—
199	C₂×C₈	—	2	4	no	—
200	C₂×C₈	—	2	1	no	—
201	C₂×C₈	—	2	2	no	—
202	C₂×C₈	—	2	1	no	—
203	C₂×C₈	—	2	2	no	—
204	C₂×C₈	—	4	8	no	—
205	C₂×C₈	—	4	2	no	—
206	C₂×C₈	—	4	2	no	—
207	C₂×C₈	—	4	8	no	—
208	C₂×C₈	—	4	4	no	—
209	C₂×C₈	—	4	2	no	—
210	C₂×C₈	—	4	2	no	—
211	C₂×C₈	—	4	4	no	—
212	C₂×C₈	—	4	2	no	—
213	C₂×C₈	—	4	4	no	—
214	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
215	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
216	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
217	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
218	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
219	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
220	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
221	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
226	C₄²	—	2	2	no	—
227	C₄²	—	2	2	no	—
228	C₄²	—	2	2	no	—
229	C₄²	—	2	2	no	—
230	C₄²	—	2	2	no	—
231	C₄²	—	2	2	no	—
232	C₄²	—	2	1	no	—
233	C₄²	—	2	1	no	—
234	C₄²	—	2	1	no	—
235	C₄²	—	2	1	no	—
236	C₄²	—	2	2	no	—
237	C₄²	—	4	1	no	—
238	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
239	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
240	C₄²	#135	1	2	yes	—
241	C₄²	#135	1	2	yes	—
242	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
244	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
245	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
246	C₂³	—	2	2	no	—
247	C₂³	—	2	2	no	—
248	C₂³	—	2	2	no	—
249	C₂³	—	2	2	no	—
250	C₂³	—	2	2	no	—
251	C₂³	—	2	2	no	—
252	C₂³	C₂×#108	1	4	yes	—
253	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
254	D₄	—	2	8	no	—
255	C₂×C₄	—	2	1	no	—
256	C₂×C₄	—	2	1	no	—
257	C₂×C₄	—	2	1	no	—
258	C₂×C₄	—	2	1	no	—
259	C₂×C₄	—	2	1	no	—
260	C₂×C₄	—	2	1	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	1	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂×C₄	—	4	2	no	—
279	C₂×C₄	—	4	2	no	—
280	C₂×C₄	—	4	2	no	—
281	C₂×C₄	—	4	2	no	—
282	C₂×C₄	—	4	2	no	—
283	C₂×C₄	#423	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	#423	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	#427	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#427	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×#108	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
302	C₈	—	2	2	no	—
303	C₈	—	2	4	no	—
304	C₈	—	2	2	no	—
305	C₈	—	4	2	no	—
306	C₈	—	4	1	no	—
307	C₈	—	4	4	no	—
308	C₈	—	8	2	no	—
309	C₈	—	8	4	no	—
310	C₈	#436	1	4	yes	—
311	C₂²	—	2	4	no	—
312	C₂²	—	2	4	no	—
313	C₂²	—	2	4	no	—
314	C₂²	—	4	2	no	—
315	C₂²	—	4	2	no	—
316	C₂²	—	4	2	no	—
317	C₂²	—	4	2	no	—
318	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	C₂×#423	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	#2906	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	C₂×#427	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	#2913	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	C₂²×#108	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	#2916	1	1	yes	characteristic
325	C₄	—	2	2	no	—
326	C₄	—	2	1	no	—
327	C₄	—	2	1	no	—
328	C₄	—	2	2	no	—
329	C₄	—	4	2	no	—
330	C₄	—	4	2	no	—
331	C₄	—	4	2	no	—
332	C₄	—	4	1	no	—
333	C₄	#1568	1	4	yes	complemented
334	C₄	C₂×#436	1	1	yes	characteristic
335	C₄	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
336	C₄	#2989	1	1	yes	characteristic
337	C₄	#2991	1	1	yes	characteristic
338	C₄	#3283	1	1	yes	characteristic
339	C₄	#3287	1	1	yes	characteristic
340	C₄	#3341	1	1	yes	characteristic
341	C₄	#3342	1	1	yes	characteristic
342	C₂	—	4	4	no	—
343	C₂	C₂×#1568	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#17799	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#17829	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#17836	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#22650	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#22658	1	1	yes	characteristic
349	C₂	D₄×#108	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂²×D₄	C₄⋊C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄²×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1568	C₂	semidirect
4. #9602	C₂	semidirect
5. #8834	C₂	semidirect
6. #8806	C₂	semidirect
7. #8596	C₂	semidirect
8. C₄×#335	C₂	semidirect
84. #335	D₄	semidirect
333. C₄	#1568	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22799	2
C₄×C₈×D₄	2
C₂×#1568	2
#9602	2
#8834	2
#8806	2
#8596	2
C₄×#335	2