Subgroups — #225404

Order 512.

742 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 409 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22799	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22650	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄×#436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1569	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9602	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9601	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8834	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8832	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8806	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#8597	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₄×#334	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#436	—	2	1	no	—
13	C₂×#436	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#436	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
18	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#1954	—	2	1	no	—
20	#1939	—	2	1	no	—
21	#1924	—	2	2	no	—
22	#1851	—	2	2	no	—
23	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1797	C₂²	1	2	yes	—
26	#1797	C₂²	1	2	yes	—
27	#1770	—	2	1	no	—
28	#1770	C₄	1	1	yes	characteristic
29	#1770	C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1753	C₄	1	2	yes	—
34	#1753	C₄	1	2	yes	—
35	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
36	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1569	—	2	8	no	—
38	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1277	C₂²	1	2	yes	—
47	#1277	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
55	#436	—	2	4	no	—
56	#436	—	2	4	no	—
57	#436	—	4	4	no	—
58	#432	—	2	4	no	—
59	#432	—	4	2	no	—
60	#423	—	2	4	no	—
61	#423	—	4	2	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
81	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
82	C₂×#97	—	2	2	no	—
83	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
86	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
87	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₄×C₄⋊C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
97	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
98	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
99	C₄×C₂²⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
100	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	#336	—	2	2	no	—
102	#336	—	2	2	no	—
103	#336	—	2	1	no	—
104	#336	—	2	1	no	—
105	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
106	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
107	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
108	#335	—	2	4	no	—
109	#335	—	2	4	no	—
110	#335	—	4	2	no	—
111	#334	—	2	4	no	—
112	#334	—	2	2	no	—
113	#334	D₄	1	4	yes	complemented
114	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
118	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₄×D₄	—	2	2	no	—
140	C₄×D₄	—	2	2	no	—
141	C₄×D₄	—	2	2	no	—
142	C₄×D₄	—	2	2	no	—
143	C₄×D₄	—	4	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
164	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
165	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
166	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
167	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
169	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
170	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
171	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
172	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
173	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
174	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
175	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
176	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
177	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
178	C₄⋊C₈	—	8	1	no	—
179	C₄⋊C₈	—	8	1	no	—
180	C₄⋊C₈	M₁₆	1	4	yes	complemented
181	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
184	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
185	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
186	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
188	#97	—	2	4	no	—
189	#97	—	2	4	no	—
190	#97	—	4	4	no	—
191	C₄×C₈	—	2	2	no	—
192	C₄×C₈	—	2	2	no	—
193	C₄×C₈	—	2	2	no	—
194	C₄×C₈	—	2	2	no	—
195	C₄×C₈	—	2	1	no	—
196	C₄×C₈	—	2	1	no	—
197	C₄×C₈	—	4	1	no	—
198	C₄×C₈	—	4	2	no	—
199	C₄×C₈	—	4	2	no	—
200	C₄×C₈	M₁₆	1	4	yes	complemented
201	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
203	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
204	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
205	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
206	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
207	C₂×D₄	—	2	2	no	—
208	C₂×D₄	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
236	M₁₆	—	4	8	no	—
237	M₁₆	—	4	8	no	—
238	M₁₆	—	8	8	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	1	no	—
241	C₂×C₈	—	2	1	no	—
242	C₂×C₈	—	2	1	no	—
243	C₂×C₈	—	2	1	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	2	1	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	1	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	1	no	—
252	C₂×C₈	—	2	2	no	—
253	C₂×C₈	—	4	1	no	—
254	C₂×C₈	—	4	1	no	—
255	C₂×C₈	—	4	1	no	—
256	C₂×C₈	—	4	1	no	—
257	C₂×C₈	—	4	2	no	—
258	C₂×C₈	—	4	2	no	—
259	C₂×C₈	—	4	1	no	—
260	C₂×C₈	—	4	1	no	—
261	C₂×C₈	—	4	1	no	—
262	C₂×C₈	—	4	2	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	—	4	1	no	—
265	C₂×C₈	—	4	1	no	—
266	C₂×C₈	—	4	2	no	—
267	C₂×C₈	—	4	2	no	—
268	C₂×C₈	—	4	1	no	—
269	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
270	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
271	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
272	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
273	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
274	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
275	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
281	C₄²	—	2	2	no	—
282	C₄²	—	2	2	no	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	—	2	2	no	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	—	2	2	no	—
287	C₄²	—	2	1	no	—
288	C₄²	—	2	1	no	—
289	C₄²	—	2	1	no	—
290	C₄²	—	2	1	no	—
291	C₄²	—	2	2	no	—
292	C₄²	—	4	1	no	—
293	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
294	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
295	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
296	C₄²	#137	1	2	yes	—
297	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
299	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
300	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
301	C₂³	—	2	2	no	—
302	C₂³	—	2	2	no	—
303	C₂³	—	2	2	no	—
304	C₂³	—	2	2	no	—
305	C₂³	—	2	2	no	—
306	C₂³	—	2	2	no	—
307	C₂³	—	2	2	no	—
308	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
309	D₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	2	1	no	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	2	1	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	1	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	1	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	1	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	8	2	no	—
337	C₂×C₄	—	8	2	no	—
338	C₂×C₄	#423	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#423	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#428	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#428	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#430	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
357	C₈	—	2	2	no	—
358	C₈	—	2	4	no	—
359	C₈	—	2	2	no	—
360	C₈	—	4	2	no	—
361	C₈	—	4	1	no	—
362	C₈	—	4	2	no	—
363	C₈	—	4	2	no	—
364	C₈	—	8	1	no	—
365	C₈	—	8	1	no	—
366	C₈	—	8	2	no	—
367	C₈	—	8	2	no	—
368	C₈	#436	1	4	yes	complemented
369	C₂²	—	4	2	no	—
370	C₂²	—	4	2	no	—
371	C₂²	—	4	2	no	—
372	C₂²	—	4	2	no	—
373	C₂²	—	4	2	no	—
374	C₂²	—	4	2	no	—
375	C₂²	—	4	2	no	—
376	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	C₂×#423	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	#2906	1	1	yes	characteristic
379	C₂²	C₂×#428	1	1	yes	characteristic
380	C₂²	#2913	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	C₂×#430	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	#2916	1	1	yes	characteristic
383	C₄	—	2	2	no	—
384	C₄	—	2	1	no	—
385	C₄	—	2	1	no	—
386	C₄	—	2	2	no	—
387	C₄	—	4	2	no	—
388	C₄	—	4	2	no	—
389	C₄	—	4	2	no	—
390	C₄	—	4	1	no	—
391	C₄	#1569	1	4	yes	complemented
392	C₄	C₂×#436	1	1	yes	characteristic
393	C₄	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
394	C₄	#2989	1	1	yes	characteristic
395	C₄	#2991	1	1	yes	characteristic
396	C₄	#3274	1	1	yes	characteristic
397	C₄	#3276	1	1	yes	characteristic
398	C₄	#3353	1	1	yes	characteristic
399	C₄	#3357	1	1	yes	characteristic
400	C₂	—	8	2	no	—
401	C₂	C₂×#1569	1	1	yes	characteristic
402	C₂	#17799	1	1	yes	characteristic
403	C₂	#17830	1	1	yes	characteristic
404	C₂	#17839	1	1	yes	characteristic
405	C₂	#22650	1	1	yes	characteristic
406	C₂	#22665	1	1	yes	characteristic
407	C₂	#22669	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂²×D₄	C₄⋊C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄²×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₂×#1569	C₂	semidirect
5. #9602	C₂	semidirect
6. #9601	C₂	semidirect
7. #8834	C₂	semidirect
8. #8832	C₂	semidirect
9. #8806	C₂	semidirect
10. #8597	C₂	semidirect
11. C₄×#334	C₂	semidirect
113. #334	D₄	semidirect
180. C₄⋊C₈	M₁₆	semidirect
200. C₄×C₈	M₁₆	semidirect
368. C₈	#436	semidirect
391. C₄	#1569	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22799	2
#22650	2
C₄×#436	2
C₂×#1569	2
#9602	2
#9601	2
#8834	2
#8832	2
#8806	2
#8597	2
C₄×#334	2