Subgroups — #225412

Order 512.

716 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 401 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22799	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	D₄×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21264	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1573	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9602	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9601	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8834	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8830	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8805	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#8600	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₄×#335	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×C₈×D₄	—	2	1	no	—
13	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#1954	—	2	1	no	—
18	#1954	C₄	1	1	yes	characteristic
19	#1954	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#1939	—	2	1	no	—
21	#1939	C₄	1	1	yes	characteristic
22	#1939	C₄	1	1	yes	characteristic
23	#1924	—	2	2	no	—
24	#1923	C₄	1	2	yes	—
25	#1923	C₄	1	2	yes	—
26	#1850	—	2	2	no	—
27	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1797	C₂²	1	2	yes	—
30	#1797	C₂²	1	2	yes	—
31	#1770	—	2	1	no	—
32	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
36	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1573	—	2	8	no	—
38	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
44	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1277	C₂²	1	2	yes	—
47	#1277	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
53	C₈×D₄	—	4	4	no	—
54	#432	—	2	4	no	—
55	#432	—	4	2	no	—
56	#431	—	2	4	no	—
57	#431	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
60	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×#97	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
84	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₄×C₄⋊C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
95	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
97	C₄×C₂²⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
98	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	#336	—	2	2	no	—
100	#336	—	2	2	no	—
101	#336	—	2	1	no	—
102	#336	—	2	1	no	—
103	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
104	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
105	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
106	#335	—	2	4	no	—
107	#335	—	2	2	no	—
108	#335	D₄	1	4	yes	complemented
109	#334	—	2	4	no	—
110	#334	—	2	4	no	—
111	#334	—	4	2	no	—
112	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
116	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
123	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
124	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
125	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₄×D₄	—	2	4	no	—
132	C₄×D₄	—	2	2	no	—
133	C₄×D₄	—	2	2	no	—
134	C₄×D₄	—	2	2	no	—
135	C₄×D₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
156	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
157	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
158	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
159	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
160	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
161	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
162	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
164	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
165	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
166	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
167	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
169	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
170	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
171	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
172	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
173	C₄⋊C₈	—	8	1	no	—
174	C₄⋊C₈	—	8	1	no	—
175	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
179	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
180	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
181	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
182	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
183	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
184	#97	—	4	4	no	—
185	C₄×C₈	—	2	2	no	—
186	C₄×C₈	—	2	2	no	—
187	C₄×C₈	—	2	2	no	—
188	C₄×C₈	—	2	2	no	—
189	C₄×C₈	—	2	2	no	—
190	C₄×C₈	—	2	1	no	—
191	C₄×C₈	—	2	1	no	—
192	C₄×C₈	—	4	1	no	—
193	C₄×C₈	—	4	2	no	—
194	C₄×C₈	—	4	2	no	—
195	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
197	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
198	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
199	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
200	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	2	2	no	—
203	C₂×D₄	#108	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
230	C₂×C₈	—	2	1	no	—
231	C₂×C₈	—	2	1	no	—
232	C₂×C₈	—	2	1	no	—
233	C₂×C₈	—	2	1	no	—
234	C₂×C₈	—	2	1	no	—
235	C₂×C₈	—	2	1	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	1	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	1	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	1	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	4	1	no	—
248	C₂×C₈	—	4	1	no	—
249	C₂×C₈	—	4	1	no	—
250	C₂×C₈	—	4	1	no	—
251	C₂×C₈	—	4	2	no	—
252	C₂×C₈	—	4	2	no	—
253	C₂×C₈	—	4	1	no	—
254	C₂×C₈	—	4	1	no	—
255	C₂×C₈	—	4	1	no	—
256	C₂×C₈	—	4	1	no	—
257	C₂×C₈	—	4	2	no	—
258	C₂×C₈	—	4	2	no	—
259	C₂×C₈	—	4	1	no	—
260	C₂×C₈	—	4	2	no	—
261	C₂×C₈	—	4	2	no	—
262	C₂×C₈	—	4	1	no	—
263	C₂×C₈	—	8	8	no	—
264	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
265	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
266	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
267	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₄²	—	2	2	no	—
274	C₄²	—	2	2	no	—
275	C₄²	—	2	2	no	—
276	C₄²	—	2	2	no	—
277	C₄²	—	2	2	no	—
278	C₄²	—	2	2	no	—
279	C₄²	—	2	1	no	—
280	C₄²	—	2	1	no	—
281	C₄²	—	2	1	no	—
282	C₄²	—	2	1	no	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	—	4	1	no	—
285	C₄²	#131	1	2	yes	—
286	C₄²	#131	1	2	yes	—
287	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
288	C₄²	#137	1	2	yes	—
289	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
291	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
292	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
293	C₂³	—	2	2	no	—
294	C₂³	—	2	2	no	—
295	C₂³	—	2	2	no	—
296	C₂³	—	2	2	no	—
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	—	2	2	no	—
299	C₂³	C₂×#108	1	4	yes	—
300	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
301	D₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	1	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	1	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	#424	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#424	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#428	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#428	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×#108	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
349	C₈	—	2	2	no	—
350	C₈	—	2	2	no	—
351	C₈	—	2	2	no	—
352	C₈	—	4	2	no	—
353	C₈	—	4	2	no	—
354	C₈	—	4	1	no	—
355	C₈	—	4	2	no	—
356	C₈	—	4	2	no	—
357	C₈	—	8	1	no	—
358	C₈	—	8	1	no	—
359	C₈	—	8	2	no	—
360	C₈	—	8	2	no	—
361	C₂²	—	2	4	no	—
362	C₂²	—	2	4	no	—
363	C₂²	—	2	4	no	—
364	C₂²	—	4	2	no	—
365	C₂²	—	4	2	no	—
366	C₂²	—	4	2	no	—
367	C₂²	—	4	2	no	—
368	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	C₂×#424	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#2906	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	C₂×#428	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	#2912	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	C₂²×#108	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	#2916	1	1	yes	characteristic
375	C₄	—	2	1	no	—
376	C₄	—	2	1	no	—
377	C₄	—	2	2	no	—
378	C₄	—	2	2	no	—
379	C₄	—	4	2	no	—
380	C₄	—	4	2	no	—
381	C₄	—	4	2	no	—
382	C₄	—	4	1	no	—
383	C₄	#1573	1	4	yes	complemented
384	C₄	#2931	1	1	yes	characteristic
385	C₄	#2935	1	1	yes	characteristic
386	C₄	#2993	1	1	yes	characteristic
387	C₄	#2994	1	1	yes	characteristic
388	C₄	#3272	1	1	yes	characteristic
389	C₄	#3278	1	1	yes	characteristic
390	C₄	#3354	1	1	yes	characteristic
391	C₄	#3356	1	1	yes	characteristic
392	C₂	—	4	4	no	—
393	C₂	C₂×#1573	1	1	yes	characteristic
394	C₂	#17811	1	1	yes	characteristic
395	C₂	#17832	1	1	yes	characteristic
396	C₂	#17834	1	1	yes	characteristic
397	C₂	#22651	1	1	yes	characteristic
398	C₂	#22663	1	1	yes	characteristic
399	C₂	D₄×#108	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂²×D₄	C₄⋊C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄²×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₂×#1573	C₂	semidirect
5. #9602	C₂	semidirect
6. #9601	C₂	semidirect
7. #8834	C₂	semidirect
8. #8830	C₂	semidirect
9. #8805	C₂	semidirect
10. #8600	C₂	semidirect
11. C₄×#335	C₂	semidirect
108. #335	D₄	semidirect
383. C₄	#1573	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22799	2
D₄×C₄⋊C₈	2
#21264	2
C₂×#1573	2
#9602	2
#9601	2
#8834	2
#8830	2
#8805	2
#8600	2
C₄×#335	2