Subgroups — #225418

Order 512.

732 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 369 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22648	C₂	1	2	yes	maximal
2	#21264	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1570	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9605	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8833	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8830	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8805	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#8598	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8273	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#435	—	2	2	no	—
11	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#1954	C₄	1	1	yes	characteristic
16	#1954	C₄	1	1	yes	characteristic
17	#1940	—	2	2	no	—
18	#1939	C₄	1	1	yes	characteristic
19	#1939	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#1923	C₄	1	2	yes	—
21	#1923	C₄	1	2	yes	—
22	#1851	—	2	2	no	—
23	#1850	—	2	2	no	—
24	#1842	C₂²	1	2	yes	—
25	#1797	C₂²	1	2	yes	—
26	#1797	C₂²	1	2	yes	—
27	#1767	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1570	—	2	8	no	—
32	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1277	C₂²	1	2	yes	—
40	#1277	C₂²	1	2	yes	—
41	#1277	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
43	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
48	#435	—	4	8	no	—
49	#431	—	2	4	no	—
50	#431	—	2	4	no	—
51	#423	—	2	4	no	—
52	#423	—	4	2	no	—
53	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×#97	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₄×C₄⋊C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
84	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
86	C₄×C₂²⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
87	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#336	—	2	2	no	—
89	#336	—	2	2	no	—
90	#336	—	2	2	no	—
91	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	#334	—	2	4	no	—
95	#334	—	2	4	no	—
96	#334	—	2	4	no	—
97	#334	—	2	2	no	—
98	#334	—	4	1	no	—
99	#334	—	4	1	no	—
100	#334	D₄	1	4	yes	complemented
101	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
105	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
106	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
107	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
113	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
114	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
115	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₄×D₄	—	4	2	no	—
122	C₄×D₄	—	4	1	no	—
123	C₄×D₄	—	4	1	no	—
124	C₄×D₄	SD₁₆	1	8	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
131	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
145	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
146	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
147	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
154	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
155	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
156	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
157	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
158	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
159	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
160	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
162	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
163	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
164	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
165	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
166	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
167	#97	—	4	4	no	—
168	C₄×C₈	—	2	2	no	—
169	C₄×C₈	—	2	2	no	—
170	C₄×C₈	—	2	2	no	—
171	C₄×C₈	—	2	1	no	—
172	C₄×C₈	—	2	1	no	—
173	C₄×C₈	—	4	1	no	—
174	C₄×C₈	—	4	1	no	—
175	C₄×C₈	—	4	1	no	—
176	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
178	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
179	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
180	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
181	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
182	C₂×D₄	—	4	1	no	—
183	C₂×D₄	—	4	1	no	—
184	C₂×D₄	#106	1	4	yes	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
211	M₁₆	—	8	8	no	—
212	C₂×C₈	—	2	1	no	—
213	C₂×C₈	—	2	1	no	—
214	C₂×C₈	—	2	1	no	—
215	C₂×C₈	—	2	1	no	—
216	C₂×C₈	—	2	1	no	—
217	C₂×C₈	—	2	1	no	—
218	C₂×C₈	—	2	2	no	—
219	C₂×C₈	—	2	2	no	—
220	C₂×C₈	—	2	1	no	—
221	C₂×C₈	—	2	4	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	2	1	no	—
224	C₂×C₈	—	2	1	no	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	4	2	no	—
229	C₂×C₈	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	2	no	—
234	C₂×C₈	—	4	2	no	—
235	C₂×C₈	—	4	2	no	—
236	C₂×C₈	—	4	2	no	—
237	C₂×C₈	—	4	2	no	—
238	C₂×C₈	—	4	2	no	—
239	C₂×C₈	—	8	8	no	—
240	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
241	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
242	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
243	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
245	C₄⋊C₄	#106	1	4	yes	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²⋊C₄	#106	1	8	yes	—
249	C₄²	—	2	2	no	—
250	C₄²	—	2	2	no	—
251	C₄²	—	2	2	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	2	2	no	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	2	1	no	—
256	C₄²	—	2	1	no	—
257	C₄²	—	2	1	no	—
258	C₄²	—	2	1	no	—
259	C₄²	—	2	2	no	—
260	C₄²	—	2	2	no	—
261	C₄²	—	4	1	no	—
262	C₄²	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
263	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
265	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
266	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	C₂×#106	1	4	yes	—
274	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
275	D₄	—	4	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	1	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	1	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	8	2	no	—
304	C₂×C₄	—	8	2	no	—
305	C₂×C₄	C₂×#106	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×#106	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×#106	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	#430	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
321	C₈	—	2	2	no	—
322	C₈	—	2	2	no	—
323	C₈	—	2	2	no	—
324	C₈	—	4	2	no	—
325	C₈	—	4	2	no	—
326	C₈	—	4	1	no	—
327	C₈	—	4	4	no	—
328	C₈	—	8	2	no	—
329	C₈	—	8	2	no	—
330	C₈	—	8	2	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	—	2	4	no	—
334	C₂²	—	4	2	no	—
335	C₂²	—	4	2	no	—
336	C₂²	—	4	2	no	—
337	C₂²	—	4	2	no	—
338	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	#2905	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	#2906	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	C₂²×#106	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	#2912	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	C₂×#430	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	#2916	1	1	yes	characteristic
345	C₄	—	2	4	no	—
346	C₄	—	2	1	no	—
347	C₄	—	2	1	no	—
348	C₄	—	2	2	no	—
349	C₄	—	2	2	no	—
350	C₄	—	2	2	no	—
351	C₄	—	4	2	no	—
352	C₄	—	4	2	no	—
353	C₄	—	4	1	no	—
354	C₄	#2932	1	1	yes	characteristic
355	C₄	#2935	1	1	yes	characteristic
356	C₄	#2992	1	1	yes	characteristic
357	C₄	#2995	1	1	yes	characteristic
358	C₄	D₄×SD₁₆	1	2	yes	—
359	C₄	#3335	1	2	yes	—
360	C₂	—	4	4	no	—
361	C₂	#17813	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#17824	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#17826	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#17838	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#22652	1	1	yes	characteristic
366	C₂	D₄×#106	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#22669	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂²×D₄	C₄⋊C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄²×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1570	C₂	semidirect
4. #9605	C₂	semidirect
5. #8833	C₂	semidirect
6. #8830	C₂	semidirect
7. #8805	C₂	semidirect
8. #8598	C₂	semidirect
9. #8273	C₂	semidirect
100. #334	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22648	2
#21264	2
C₂×#1570	2
#9605	2
#8833	2
#8830	2
#8805	2
#8598	2
#8273	2