Subgroups — #225423

Order 512.

654 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 369 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22797	C₂	1	2	yes	maximal
2	#21264	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1572	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9605	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8834	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8831	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8806	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#8599	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8274	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
13	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#1955	—	2	2	no	—
15	#1954	C₄	1	1	yes	characteristic
16	#1954	C₄	1	1	yes	characteristic
17	#1939	C₄	1	1	yes	characteristic
18	#1939	C₄	1	1	yes	characteristic
19	#1924	—	2	2	no	—
20	#1923	—	2	2	no	—
21	#1923	C₄	1	2	yes	—
22	#1923	C₄	1	2	yes	—
23	#1842	C₂²	1	2	yes	—
24	#1797	C₂²	1	2	yes	—
25	#1797	C₂²	1	2	yes	—
26	#1771	—	2	2	no	—
27	#1767	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1572	—	2	8	no	—
32	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
39	#1277	C₂²	1	2	yes	—
40	#1277	C₂²	1	2	yes	—
41	#1277	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
46	#432	—	2	4	no	—
47	#432	—	4	2	no	—
48	#431	—	2	4	no	—
49	#431	—	2	4	no	—
50	#431	—	2	4	no	—
51	#431	—	4	2	no	—
52	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×#97	—	2	2	no	—
71	C₂×#97	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₄×C₄⋊C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
83	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
85	C₄×C₂²⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
86	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#336	—	2	2	no	—
88	#336	—	2	2	no	—
89	#336	—	2	2	no	—
90	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#335	—	2	4	no	—
94	#335	—	2	2	no	—
95	#335	—	4	1	no	—
96	#335	—	4	1	no	—
97	#335	D₄	1	4	yes	complemented
98	#334	—	2	4	no	—
99	#334	—	2	4	no	—
100	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₄×D₄	—	2	2	no	—
115	C₄×D₄	—	2	2	no	—
116	C₄×D₄	—	4	2	no	—
117	C₄×D₄	—	4	1	no	—
118	C₄×D₄	—	4	1	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
125	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
139	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
140	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
141	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
142	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
143	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
144	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
149	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
150	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
151	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
152	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
154	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
155	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
156	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
157	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
158	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
159	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
160	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
161	#97	—	4	4	no	—
162	#97	—	4	4	no	—
163	C₄×C₈	—	2	2	no	—
164	C₄×C₈	—	2	2	no	—
165	C₄×C₈	—	2	2	no	—
166	C₄×C₈	—	2	1	no	—
167	C₄×C₈	—	2	1	no	—
168	C₄×C₈	—	4	1	no	—
169	C₄×C₈	—	4	1	no	—
170	C₄×C₈	—	4	1	no	—
171	C₄×C₈	—	4	4	no	—
172	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
174	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
175	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
176	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
177	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
178	C₂×D₄	—	2	2	no	—
179	C₂×D₄	—	4	1	no	—
180	C₂×D₄	—	4	1	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
197	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₈	—	2	1	no	—
208	C₂×C₈	—	2	1	no	—
209	C₂×C₈	—	2	1	no	—
210	C₂×C₈	—	2	1	no	—
211	C₂×C₈	—	2	1	no	—
212	C₂×C₈	—	2	1	no	—
213	C₂×C₈	—	2	2	no	—
214	C₂×C₈	—	2	2	no	—
215	C₂×C₈	—	2	1	no	—
216	C₂×C₈	—	2	4	no	—
217	C₂×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂×C₈	—	2	1	no	—
219	C₂×C₈	—	2	1	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	4	2	no	—
224	C₂×C₈	—	4	2	no	—
225	C₂×C₈	—	4	2	no	—
226	C₂×C₈	—	4	2	no	—
227	C₂×C₈	—	4	2	no	—
228	C₂×C₈	—	4	2	no	—
229	C₂×C₈	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	2	no	—
234	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
235	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
236	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
237	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
243	C₄²	—	2	2	no	—
244	C₄²	—	2	2	no	—
245	C₄²	—	2	2	no	—
246	C₄²	—	2	2	no	—
247	C₄²	—	2	2	no	—
248	C₄²	—	2	2	no	—
249	C₄²	—	2	1	no	—
250	C₄²	—	2	1	no	—
251	C₄²	—	2	1	no	—
252	C₄²	—	2	1	no	—
253	C₄²	—	2	1	no	—
254	C₄²	—	2	1	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	4	1	no	—
257	C₄²	#135	1	2	yes	—
258	C₄²	#135	1	2	yes	—
259	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
261	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
262	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
271	D₄	—	4	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	1	no	—
273	C₂×C₄	—	2	1	no	—
274	C₂×C₄	—	2	1	no	—
275	C₂×C₄	—	2	1	no	—
276	C₂×C₄	—	2	1	no	—
277	C₂×C₄	—	2	1	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	4	2	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	8	2	no	—
301	C₂×C₄	—	8	2	no	—
302	C₂×C₄	#427	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#427	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	#430	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
319	C₈	—	2	2	no	—
320	C₈	—	2	2	no	—
321	C₈	—	2	2	no	—
322	C₈	—	4	2	no	—
323	C₈	—	4	2	no	—
324	C₈	—	4	1	no	—
325	C₈	—	4	4	no	—
326	C₈	—	8	2	no	—
327	C₈	—	8	2	no	—
328	C₈	—	8	2	no	—
329	C₂²	—	4	2	no	—
330	C₂²	—	4	2	no	—
331	C₂²	—	4	2	no	—
332	C₂²	—	4	2	no	—
333	C₂²	—	4	2	no	—
334	C₂²	—	4	2	no	—
335	C₂²	—	4	2	no	—
336	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#2905	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#2906	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	C₂×#427	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	#2913	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	C₂×#430	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	#2916	1	1	yes	characteristic
343	C₄	—	2	1	no	—
344	C₄	—	2	1	no	—
345	C₄	—	2	2	no	—
346	C₄	—	2	2	no	—
347	C₄	—	2	2	no	—
348	C₄	—	4	2	no	—
349	C₄	—	4	2	no	—
350	C₄	—	4	2	no	—
351	C₄	—	4	1	no	—
352	C₄	#2932	1	1	yes	characteristic
353	C₄	#2935	1	1	yes	characteristic
354	C₄	#2992	1	1	yes	characteristic
355	C₄	#2995	1	1	yes	characteristic
356	C₄	#3283	1	1	yes	characteristic
357	C₄	#3287	1	1	yes	characteristic
358	C₄	#3341	1	1	yes	characteristic
359	C₄	#3342	1	1	yes	characteristic
360	C₂	—	8	2	no	—
361	C₂	#17815	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#17825	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#17829	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#17840	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#22652	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#22658	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#22669	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂²×D₄	C₄⋊C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄²×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1572	C₂	semidirect
4. #9605	C₂	semidirect
5. #8834	C₂	semidirect
6. #8831	C₂	semidirect
7. #8806	C₂	semidirect
8. #8599	C₂	semidirect
9. #8274	C₂	semidirect
97. #335	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22797	2
#21264	2
C₂×#1572	2
#9605	2
#8834	2
#8831	2
#8806	2
#8599	2
#8274	2