Subgroups — #225458

Order 512.

784 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 331 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22700	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₄²×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1589	C₂	1	2	yes	maximal
4	#9594	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8849	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8807	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8565	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×C₄×D₈	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×D₈	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#436	C₂²	1	4	yes	—
13	C₄²×D₄	C₂²	1	2	yes	—
14	#1939	C₂²	1	4	yes	—
15	#1851	—	2	4	no	—
16	#1831	C₂²	1	2	yes	—
17	#1797	—	2	2	no	—
18	C₄×#107	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₄×#107	C₄	1	1	yes	characteristic
20	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₄×#102	C₄	1	2	yes	—
24	C₄×#102	C₄	1	2	yes	—
25	C₄×#102	C₂²	1	2	yes	—
26	#1728	—	2	2	no	—
27	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1589	—	2	8	no	—
29	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×C₈²	C₂²	1	2	yes	—
33	#1279	C₂²	1	4	yes	—
34	#1273	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
37	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
41	C₄×D₈	—	2	4	no	—
42	C₄×D₈	—	2	4	no	—
43	C₄×D₈	D₄	1	4	yes	—
44	C₄×D₈	Q₈	1	4	yes	—
45	#436	—	2	8	no	—
46	#436	—	4	4	no	—
47	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
51	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
69	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
70	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
71	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
72	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	#336	—	2	4	no	—
77	#336	—	2	2	no	—
78	#336	—	2	2	no	—
79	#336	—	2	1	no	—
80	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
81	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
82	#335	—	2	4	no	—
83	#334	—	4	2	no	—
84	D₄⋊C₈	—	2	8	no	—
85	C₈²	—	2	4	no	—
86	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
87	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
90	C₂×D₈	—	2	2	no	—
91	C₂×D₈	—	2	2	no	—
92	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
93	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
94	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
95	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₄×D₄	—	2	4	no	—
105	C₄×D₄	—	2	4	no	—
106	C₄×D₄	—	2	4	no	—
107	C₄×D₄	—	2	2	no	—
108	C₄×D₄	—	2	2	no	—
109	C₄×D₄	—	4	2	no	—
110	C₄×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
111	C₄×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄²	—	8	4	no	—
122	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
129	#107	—	2	2	no	—
130	#107	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
131	#107	M₁₆	1	4	yes	complemented
132	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
133	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
134	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
135	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
136	C₄⋊C₈	—	8	4	no	—
137	#102	—	2	4	no	—
138	#102	—	2	4	no	—
139	#102	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
140	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
141	C₄×C₈	—	2	2	no	—
142	C₄×C₈	—	2	2	no	—
143	C₄×C₈	—	2	2	no	—
144	C₄×C₈	—	2	2	no	—
145	C₄×C₈	—	2	1	no	—
146	C₄×C₈	—	2	2	no	—
147	C₄×C₈	—	2	1	no	—
148	C₄×C₈	—	2	2	no	—
149	C₄×C₈	—	4	1	no	—
150	C₄×C₈	M₁₆	1	4	yes	complemented
151	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
153	#95	—	2	2	no	—
154	#95	—	2	2	no	—
155	#95	—	2	2	no	—
156	C₂⁴	—	2	2	no	—
157	C₂×D₄	—	2	2	no	—
158	C₂×D₄	—	2	2	no	—
159	C₂×D₄	—	2	2	no	—
160	C₂×D₄	—	2	2	no	—
161	C₂×D₄	—	2	2	no	—
162	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
176	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
183	D₈	—	2	8	no	—
184	M₁₆	—	8	16	no	—
185	C₂×C₈	—	2	1	no	—
186	C₂×C₈	—	2	2	no	—
187	C₂×C₈	—	2	1	no	—
188	C₂×C₈	—	2	1	no	—
189	C₂×C₈	—	2	1	no	—
190	C₂×C₈	—	2	2	no	—
191	C₂×C₈	—	2	4	no	—
192	C₂×C₈	—	2	1	no	—
193	C₂×C₈	—	2	2	no	—
194	C₂×C₈	—	2	1	no	—
195	C₂×C₈	—	2	1	no	—
196	C₂×C₈	—	2	2	no	—
197	C₂×C₈	—	2	2	no	—
198	C₂×C₈	—	4	2	no	—
199	C₂×C₈	—	4	2	no	—
200	C₂×C₈	—	4	4	no	—
201	C₂×C₈	—	4	4	no	—
202	C₂×C₈	—	4	4	no	—
203	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
205	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
206	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
207	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
208	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
209	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
213	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
214	C₄⋊C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
215	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
219	C₄²	—	2	1	no	—
220	C₄²	—	2	1	no	—
221	C₄²	—	2	2	no	—
222	C₄²	—	2	2	no	—
223	C₄²	—	2	2	no	—
224	C₄²	—	4	1	no	—
225	C₄²	—	4	4	no	—
226	C₄²	—	8	2	no	—
227	C₄²	—	8	2	no	—
228	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
229	C₄²	#131	1	2	yes	—
230	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
232	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
233	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
234	C₂³	—	2	4	no	—
235	C₂³	—	4	2	no	—
236	C₂³	—	4	2	no	—
237	C₂³	—	4	2	no	—
238	C₂³	—	4	2	no	—
239	C₂³	—	4	2	no	—
240	C₂³	—	4	2	no	—
241	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
242	D₄	—	2	4	no	—
243	D₄	—	2	4	no	—
244	D₄	—	4	2	no	—
245	D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	1	no	—
247	C₂×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂×C₄	—	2	1	no	—
249	C₂×C₄	—	2	1	no	—
250	C₂×C₄	—	2	1	no	—
251	C₂×C₄	—	2	1	no	—
252	C₂×C₄	—	2	1	no	—
253	C₂×C₄	—	2	1	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	2	1	no	—
256	C₂×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂×C₄	—	2	1	no	—
258	C₂×C₄	—	2	1	no	—
259	C₂×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂×C₄	—	4	8	no	—
264	C₂×C₄	—	4	8	no	—
265	C₂×C₄	—	4	2	no	—
266	C₂×C₄	—	4	2	no	—
267	C₂×C₄	—	4	2	no	—
268	C₂×C₄	—	8	8	no	—
269	C₂×C₄	—	8	8	no	—
270	C₂×C₄	#436	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	#436	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	#443	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
285	C₈	—	2	2	no	—
286	C₈	—	2	2	no	—
287	C₈	—	2	4	no	—
288	C₈	—	4	4	no	—
289	C₈	—	4	1	no	—
290	C₈	—	4	2	no	—
291	C₈	—	8	4	no	—
292	C₈	#423	1	4	yes	—
293	C₂²	—	4	4	no	—
294	C₂²	—	4	4	no	—
295	C₂²	—	4	4	no	—
296	C₂²	—	8	2	no	—
297	C₂²	—	8	2	no	—
298	C₂²	—	8	2	no	—
299	C₂²	—	8	2	no	—
300	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	C₂×#436	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	C₄×#135	1	1	yes	characteristic
304	C₂²	#2948	1	1	yes	characteristic
305	C₂²	C₂×#443	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	#2957	1	1	yes	characteristic
307	C₄	—	2	2	no	—
308	C₄	—	2	1	no	—
309	C₄	—	2	1	no	—
310	C₄	—	2	2	no	—
311	C₄	—	2	2	no	—
312	C₄	—	4	1	no	—
313	C₄	—	4	4	no	—
314	C₄	—	4	4	no	—
315	C₄	—	8	2	no	—
316	C₄	C₂×#423	1	1	yes	characteristic
317	C₄	#2906	1	1	yes	characteristic
318	C₄	#2989	1	1	yes	characteristic
319	C₄	#2991	1	1	yes	characteristic
320	C₄	#3280	1	2	yes	—
321	C₄	#3380	1	2	yes	—
322	C₂	—	8	4	no	—
323	C₂	#17886	1	1	yes	characteristic
324	C₂	#17895	1	1	yes	characteristic
325	C₂	#18039	1	1	yes	characteristic
326	C₂	#18054	1	1	yes	characteristic
327	C₂	#22650	1	1	yes	characteristic
328	C₂	#22682	1	1	yes	characteristic
329	C₂	#22688	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×D₈	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×C₄⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #22700	C₂	semidirect
4. #9594	C₂	semidirect
5. #8849	C₂	semidirect
6. #8807	C₂	semidirect
7. #8565	C₂	semidirect
8. C₈×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
131. #107	M₁₆	semidirect
150. C₄×C₈	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22700	2
C₄²×D₈	2
C₂×#1589	2
#9594	2
#8849	2
#8807	2
#8565	2
C₈×C₄⋊C₈	2