Subgroups — #225460

Order 512.

690 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 316 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22722	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₄²×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1591	C₂	1	2	yes	maximal
4	#9594	C₂	1	2	yes	maximal
5	#8848	C₂	1	4	yes	maximal
6	#8806	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#8564	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₈×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×#446	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×C₄×Q₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×Q₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₄²×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
14	#1940	—	2	4	no	—
15	#1939	C₂²	1	4	yes	—
16	#1842	—	2	2	no	—
17	#1842	C₂²	1	2	yes	—
18	C₄×#107	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₄×#107	C₄	1	1	yes	characteristic
20	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#1767	—	2	2	no	—
22	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₄×#103	C₄	1	2	yes	—
25	C₄×#103	C₄	1	2	yes	—
26	C₄×#103	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1591	—	2	8	no	—
29	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×C₈²	C₂²	1	2	yes	—
33	#1279	C₂²	1	4	yes	—
34	#1273	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
39	#446	—	2	8	no	—
40	#446	—	4	4	no	—
41	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
42	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
43	C₄×Q₁₆	D₄	1	4	yes	—
44	C₄×Q₁₆	Q₈	1	4	yes	—
45	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
49	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×#97	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
69	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
70	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
71	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
74	C₄³	—	2	2	no	—
75	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#336	—	2	4	no	—
80	#336	—	2	1	no	—
81	#336	D₄	1	2	yes	—
82	#335	—	2	4	no	—
83	#335	—	4	2	no	—
84	Q₈⋊C₈	—	2	8	no	—
85	C₈²	—	2	4	no	—
86	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
87	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
88	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
89	C₂×Q₁₆	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
90	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
92	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
99	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
100	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
101	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
102	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
103	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
104	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
105	C₄×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	#107	—	2	2	no	—
126	#107	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
127	#107	M₁₆	1	4	yes	—
128	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
129	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
130	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
131	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
132	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
133	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
134	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
135	C₄⋊C₈	—	8	4	no	—
136	C₄⋊C₈	Q₁₆	1	4	yes	complemented
137	#103	—	2	4	no	—
138	#103	—	2	4	no	—
139	#103	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
140	#97	—	4	8	no	—
141	C₄×C₈	—	2	2	no	—
142	C₄×C₈	—	2	2	no	—
143	C₄×C₈	—	2	2	no	—
144	C₄×C₈	—	2	2	no	—
145	C₄×C₈	—	2	1	no	—
146	C₄×C₈	—	2	2	no	—
147	C₄×C₈	—	2	1	no	—
148	C₄×C₈	—	2	2	no	—
149	C₄×C₈	—	4	1	no	—
150	C₄×C₈	M₁₆	1	4	yes	—
151	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
153	#95	—	2	2	no	—
154	#95	—	2	2	no	—
155	#95	—	2	2	no	—
156	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
157	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
158	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
159	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
160	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
161	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
173	Q₁₆	—	2	8	no	—
174	C₂×C₈	—	2	1	no	—
175	C₂×C₈	—	2	2	no	—
176	C₂×C₈	—	2	1	no	—
177	C₂×C₈	—	2	1	no	—
178	C₂×C₈	—	2	1	no	—
179	C₂×C₈	—	2	2	no	—
180	C₂×C₈	—	2	4	no	—
181	C₂×C₈	—	2	1	no	—
182	C₂×C₈	—	2	2	no	—
183	C₂×C₈	—	2	1	no	—
184	C₂×C₈	—	2	1	no	—
185	C₂×C₈	—	2	2	no	—
186	C₂×C₈	—	2	2	no	—
187	C₂×C₈	—	4	2	no	—
188	C₂×C₈	—	4	2	no	—
189	C₂×C₈	—	4	4	no	—
190	C₂×C₈	—	4	4	no	—
191	C₂×C₈	—	4	4	no	—
192	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
195	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
196	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
197	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
198	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
201	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
203	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
204	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
205	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
206	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
207	C₄⋊C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
208	C₄²	—	2	4	no	—
209	C₄²	—	2	4	no	—
210	C₄²	—	2	1	no	—
211	C₄²	—	2	1	no	—
212	C₄²	—	2	1	no	—
213	C₄²	—	2	1	no	—
214	C₄²	—	2	2	no	—
215	C₄²	—	4	1	no	—
216	C₄²	—	4	4	no	—
217	C₄²	—	4	2	no	—
218	C₄²	—	4	2	no	—
219	C₄²	—	4	4	no	—
220	C₄²	—	4	4	no	—
221	C₄²	—	8	2	no	—
222	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
223	C₄²	#131	1	2	yes	—
224	C₄²	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
225	C₄²	#135	1	2	yes	—
226	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
228	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
229	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
230	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
231	Q₈	—	2	4	no	—
232	Q₈	—	2	4	no	—
233	Q₈	—	4	2	no	—
234	Q₈	—	4	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂×C₄	—	2	1	no	—
239	C₂×C₄	—	2	1	no	—
240	C₂×C₄	—	2	1	no	—
241	C₂×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂×C₄	—	2	1	no	—
244	C₂×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂×C₄	—	2	1	no	—
246	C₂×C₄	—	2	1	no	—
247	C₂×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂×C₄	#436	1	2	yes	—
257	C₂×C₄	#436	1	2	yes	—
258	C₂×C₄	C₄×Q₁₆	1	2	yes	—
259	C₂×C₄	C₄×Q₁₆	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	#443	1	2	yes	—
261	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
275	C₈	—	2	2	no	—
276	C₈	—	2	2	no	—
277	C₈	—	2	4	no	—
278	C₈	—	4	4	no	—
279	C₈	—	4	1	no	—
280	C₈	—	4	2	no	—
281	C₈	—	8	4	no	—
282	C₈	#423	1	4	yes	—
283	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂²	C₂×#436	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
286	C₂²	C₂×C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
287	C₂²	#2951	1	1	yes	characteristic
288	C₂²	C₂×#443	1	1	yes	characteristic
289	C₂²	#2957	1	1	yes	characteristic
290	C₄	—	2	2	no	—
291	C₄	—	2	1	no	—
292	C₄	—	2	1	no	—
293	C₄	—	2	2	no	—
294	C₄	—	4	4	no	—
295	C₄	—	4	1	no	—
296	C₄	—	4	4	no	—
297	C₄	—	4	4	no	—
298	C₄	—	8	2	no	—
299	C₄	#1591	1	4	yes	complemented
300	C₄	C₂×#423	1	1	yes	characteristic
301	C₄	#2906	1	1	yes	characteristic
302	C₄	#2989	1	1	yes	characteristic
303	C₄	#2991	1	1	yes	characteristic
304	C₄	D₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
305	C₄	#3287	1	1	yes	characteristic
306	C₄	Q₈×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
307	C₄	#3383	1	1	yes	characteristic
308	C₂	C₂×#1591	1	1	yes	characteristic
309	C₂	#17898	1	1	yes	characteristic
310	C₂	M₁₆×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
311	C₂	#18055	1	1	yes	characteristic
312	C₂	#22650	1	1	yes	characteristic
313	C₂	C₄⋊C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
314	C₂	#22688	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle, prime radical	C₂³	C₂×C₄×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×C₄⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
136. C₄⋊C₈	Q₁₆	semidirect
299. C₄	#1591	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22722	2
C₄²×Q₁₆	2
C₂×#1591	2
#9594	2
#8848	2
#8806	2
#8564	2
C₈×C₄⋊C₈	2