Subgroups — #225464

Order 512.

700 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 370 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22701	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#21275	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1594	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1580	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#9595	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9595	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8847	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8843	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8807	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#8569	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#8260	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
15	#2293	C₂²	1	2	yes	—
16	#1970	C₄	1	1	yes	characteristic
17	#1970	C₄	1	1	yes	characteristic
18	#1942	C₄	1	1	yes	characteristic
19	#1942	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#1939	C₂²	1	2	yes	—
21	#1939	C₂²	1	2	yes	—
22	#1934	C₄	1	2	yes	—
23	#1934	C₄	1	2	yes	—
24	#1851	—	2	2	no	—
25	#1850	—	2	2	no	—
26	#1831	C₂²	1	2	yes	—
27	#1798	—	2	2	no	—
28	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₄×#102	C₂²	1	2	yes	—
32	#1729	—	2	2	no	—
33	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1594	—	2	4	no	—
35	#1580	—	2	4	no	—
36	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1279	C₂²	1	2	yes	—
44	#1279	C₂²	1	2	yes	—
45	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#117	—	2	2	no	—
52	C₄×D₈	D₄	1	4	yes	—
53	C₄×D₈	Q₈	1	4	yes	—
54	#436	—	2	4	no	—
55	#436	—	4	2	no	—
56	C₈×D₄	—	2	4	no	—
57	C₈×D₄	—	4	2	no	—
58	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	#389	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	#389	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	#388	—	2	2	no	—
87	#388	—	2	2	no	—
88	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
90	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	#336	—	2	2	no	—
95	#336	—	2	2	no	—
96	#336	—	2	2	no	—
97	#336	—	2	2	no	—
98	#336	—	2	1	no	—
99	#336	D₄	1	2	yes	—
100	#335	—	4	2	no	—
101	#334	—	2	2	no	—
102	#334	—	2	2	no	—
103	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
104	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
105	#322	—	2	2	no	—
106	#322	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂×D₈	—	2	2	no	—
110	C₂×D₈	—	2	2	no	—
111	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
112	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
113	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
114	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
119	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
120	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
121	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
122	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₄×D₄	—	2	2	no	—
129	C₄×D₄	—	2	2	no	—
130	C₄×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
131	C₄×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
132	#117	—	8	2	no	—
133	#117	—	8	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	#107	—	2	2	no	—
153	#107	—	2	2	no	—
154	#107	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
155	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
156	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
157	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
158	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
159	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
160	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
161	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
162	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
163	#102	—	2	4	no	—
164	#102	—	4	2	no	—
165	#102	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
166	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
167	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
168	C₄×C₈	—	2	2	no	—
169	C₄×C₈	—	2	2	no	—
170	C₄×C₈	—	2	2	no	—
171	C₄×C₈	—	2	1	no	—
172	C₄×C₈	—	2	1	no	—
173	C₄×C₈	—	2	1	no	—
174	C₄×C₈	—	2	1	no	—
175	C₄×C₈	—	2	1	no	—
176	C₄×C₈	—	2	1	no	—
177	C₄×C₈	—	2	1	no	—
178	C₄×C₈	—	2	1	no	—
179	C₄×C₈	—	2	1	no	—
180	C₄×C₈	—	2	1	no	—
181	C₄×C₈	—	4	1	no	—
182	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
184	#95	—	2	2	no	—
185	#95	—	2	2	no	—
186	#95	—	2	2	no	—
187	C₂⁴	—	2	2	no	—
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	2	2	no	—
190	C₂×D₄	—	2	2	no	—
191	C₂×D₄	—	2	2	no	—
192	C₂×D₄	—	2	2	no	—
193	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
210	D₈	—	2	8	no	—
211	M₁₆	—	8	8	no	—
212	C₂×C₈	—	2	1	no	—
213	C₂×C₈	—	2	1	no	—
214	C₂×C₈	—	2	1	no	—
215	C₂×C₈	—	2	1	no	—
216	C₂×C₈	—	2	1	no	—
217	C₂×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂×C₈	—	2	2	no	—
219	C₂×C₈	—	2	1	no	—
220	C₂×C₈	—	2	1	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	2	2	no	—
224	C₂×C₈	—	2	2	no	—
225	C₂×C₈	—	4	1	no	—
226	C₂×C₈	—	4	1	no	—
227	C₂×C₈	—	4	1	no	—
228	C₂×C₈	—	4	1	no	—
229	C₂×C₈	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	1	no	—
232	C₂×C₈	—	4	1	no	—
233	C₂×C₈	—	4	2	no	—
234	C₂×C₈	—	4	2	no	—
235	C₂×C₈	—	4	2	no	—
236	C₂×C₈	—	4	2	no	—
237	C₂×C₈	—	8	8	no	—
238	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
239	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
240	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
241	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
242	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
243	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
250	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
257	C₄²	—	2	1	no	—
258	C₄²	—	2	1	no	—
259	C₄²	—	2	1	no	—
260	C₄²	—	2	1	no	—
261	C₄²	—	2	2	no	—
262	C₄²	—	2	2	no	—
263	C₄²	—	2	2	no	—
264	C₄²	—	4	1	no	—
265	C₄²	—	4	2	no	—
266	C₄²	—	4	2	no	—
267	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
269	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
270	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	4	2	no	—
273	C₂³	—	4	2	no	—
274	C₂³	—	4	2	no	—
275	C₂³	—	4	2	no	—
276	C₂³	—	4	2	no	—
277	C₂³	—	4	2	no	—
278	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
279	D₄	—	2	4	no	—
280	D₄	—	2	4	no	—
281	D₄	—	4	2	no	—
282	D₄	—	4	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	1	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂×C₄	—	2	1	no	—
292	C₂×C₄	—	2	1	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	1	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	4	2	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	#444	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
322	C₈	—	2	2	no	—
323	C₈	—	2	2	no	—
324	C₈	—	4	1	no	—
325	C₈	—	4	2	no	—
326	C₈	—	4	2	no	—
327	C₈	—	8	1	no	—
328	C₈	—	8	1	no	—
329	C₈	—	8	2	no	—
330	C₈	—	8	2	no	—
331	C₈	#424	1	4	yes	—
332	C₂²	—	4	4	no	—
333	C₂²	—	4	4	no	—
334	C₂²	—	4	4	no	—
335	C₂²	—	8	2	no	—
336	C₂²	—	8	2	no	—
337	C₂²	—	8	2	no	—
338	C₂²	—	8	2	no	—
339	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	#2931	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	#2935	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	#2943	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#2948	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	C₂×#444	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#2957	1	1	yes	characteristic
346	C₄	—	2	2	no	—
347	C₄	—	2	1	no	—
348	C₄	—	2	1	no	—
349	C₄	—	4	1	no	—
350	C₄	—	4	4	no	—
351	C₄	—	4	1	no	—
352	C₄	—	4	1	no	—
353	C₄	—	8	2	no	—
354	C₄	—	8	2	no	—
355	C₄	C₂×#424	1	1	yes	characteristic
356	C₄	#2906	1	1	yes	characteristic
357	C₄	#2993	1	1	yes	characteristic
358	C₄	#2994	1	1	yes	characteristic
359	C₄	#3273	1	2	yes	—
360	C₄	#3389	1	2	yes	—
361	C₂	—	8	4	no	—
362	C₂	#17963	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#17970	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#18075	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#18091	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#22651	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#22672	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#22686	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×D₈	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×C₄⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #22701	C₂	semidirect
5. #9595	C₂	semidirect
6. #9595	C₂	semidirect
7. #8847	C₂	semidirect
8. #8843	C₂	semidirect
9. #8807	C₂	semidirect
10. #8569	C₂	semidirect
11. #8260	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22701	2
#21275	2
C₂×#1594	2
C₂×#1580	2
#9595	2
#8847	2
#8843	2
#8807	2
#8569	2
#8260	2