Subgroups — #225472

Order 512.

750 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 392 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22651	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#21275	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1589	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×C₈×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#9594	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9594	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8847	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8843	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8806	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#8567	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₈×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#424	—	2	2	no	—
16	#2293	C₂²	1	2	yes	—
17	#1970	C₄	1	1	yes	characteristic
18	#1970	C₄	1	1	yes	characteristic
19	#1942	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#1942	C₄	1	1	yes	characteristic
21	#1939	C₂²	1	2	yes	—
22	#1939	C₂²	1	2	yes	—
23	#1934	C₄	1	2	yes	—
24	#1934	C₄	1	2	yes	—
25	#1851	—	2	2	no	—
26	#1850	—	2	2	no	—
27	#1842	C₂²	1	2	yes	—
28	#1798	—	2	2	no	—
29	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₄×#102	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1589	—	2	4	no	—
35	C₈×D₈	—	2	4	no	—
36	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1279	C₂²	1	2	yes	—
44	#1279	C₂²	1	2	yes	—
45	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#117	—	2	2	no	—
52	C₄×D₈	D₄	1	4	yes	—
53	C₄×D₈	Q₈	1	4	yes	—
54	#436	—	2	4	no	—
55	#436	—	4	2	no	—
56	C₈×D₄	—	2	4	no	—
57	C₈×D₄	—	4	2	no	—
58	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	#424	—	4	8	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#389	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	#389	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	#388	—	2	2	no	—
91	#388	—	2	2	no	—
92	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
94	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
98	#336	—	2	2	no	—
99	#336	—	2	2	no	—
100	#336	—	2	1	no	—
101	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
102	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
103	#335	—	2	2	no	—
104	#335	—	2	2	no	—
105	#335	—	4	2	no	—
106	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
107	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
108	C₈²	—	2	2	no	—
109	C₈²	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂×D₈	—	2	2	no	—
113	C₂×D₈	—	2	2	no	—
114	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
115	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
123	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
124	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
125	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₄×D₄	—	2	2	no	—
134	C₄×D₄	—	2	2	no	—
135	C₄×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₄×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
137	#117	—	4	4	no	—
138	#117	—	4	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
157	#107	—	2	2	no	—
158	#107	—	2	2	no	—
159	#107	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
160	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
161	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
162	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
164	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
165	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
166	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
167	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
168	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
169	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
170	C₄⋊C₈	D₈	1	4	yes	complemented
171	#102	—	2	4	no	—
172	#102	—	4	2	no	—
173	#102	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
174	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
176	C₄×C₈	—	2	2	no	—
177	C₄×C₈	—	2	2	no	—
178	C₄×C₈	—	2	2	no	—
179	C₄×C₈	—	2	1	no	—
180	C₄×C₈	—	2	1	no	—
181	C₄×C₈	—	2	1	no	—
182	C₄×C₈	—	2	1	no	—
183	C₄×C₈	—	2	1	no	—
184	C₄×C₈	—	2	1	no	—
185	C₄×C₈	—	2	1	no	—
186	C₄×C₈	—	2	1	no	—
187	C₄×C₈	—	2	1	no	—
188	C₄×C₈	—	2	1	no	—
189	C₄×C₈	—	4	1	no	—
190	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
192	#95	—	2	2	no	—
193	#95	—	2	2	no	—
194	#95	—	2	2	no	—
195	C₂⁴	—	2	2	no	—
196	C₂×D₄	—	2	2	no	—
197	C₂×D₄	—	2	2	no	—
198	C₂×D₄	—	2	2	no	—
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	2	2	no	—
201	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
218	D₈	—	2	8	no	—
219	M₁₆	—	8	8	no	—
220	C₂×C₈	—	2	1	no	—
221	C₂×C₈	—	2	1	no	—
222	C₂×C₈	—	2	1	no	—
223	C₂×C₈	—	2	1	no	—
224	C₂×C₈	—	2	1	no	—
225	C₂×C₈	—	2	1	no	—
226	C₂×C₈	—	2	1	no	—
227	C₂×C₈	—	2	1	no	—
228	C₂×C₈	—	2	2	no	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	2	1	no	—
231	C₂×C₈	—	2	1	no	—
232	C₂×C₈	—	2	1	no	—
233	C₂×C₈	—	2	1	no	—
234	C₂×C₈	—	2	1	no	—
235	C₂×C₈	—	2	1	no	—
236	C₂×C₈	—	2	1	no	—
237	C₂×C₈	—	2	1	no	—
238	C₂×C₈	—	2	1	no	—
239	C₂×C₈	—	4	1	no	—
240	C₂×C₈	—	4	1	no	—
241	C₂×C₈	—	4	1	no	—
242	C₂×C₈	—	4	1	no	—
243	C₂×C₈	—	4	2	no	—
244	C₂×C₈	—	4	2	no	—
245	C₂×C₈	—	4	2	no	—
246	C₂×C₈	—	4	2	no	—
247	C₂×C₈	—	4	2	no	—
248	C₂×C₈	—	4	2	no	—
249	C₂×C₈	—	8	8	no	—
250	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
251	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
252	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
253	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
254	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
255	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
256	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
257	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
265	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
271	C₄²	—	2	1	no	—
272	C₄²	—	2	1	no	—
273	C₄²	—	2	1	no	—
274	C₄²	—	2	1	no	—
275	C₄²	—	2	1	no	—
276	C₄²	—	2	1	no	—
277	C₄²	—	2	2	no	—
278	C₄²	—	4	1	no	—
279	C₄²	—	4	2	no	—
280	C₄²	—	4	2	no	—
281	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
282	C₄²	#135	1	2	yes	—
283	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
285	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
286	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
287	C₂³	—	2	4	no	—
288	C₂³	—	4	2	no	—
289	C₂³	—	4	2	no	—
290	C₂³	—	4	2	no	—
291	C₂³	—	4	2	no	—
292	C₂³	—	4	2	no	—
293	C₂³	—	4	2	no	—
294	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
295	D₄	—	2	4	no	—
296	D₄	—	2	4	no	—
297	D₄	—	4	2	no	—
298	D₄	—	4	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#443	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
340	C₈	—	2	2	no	—
341	C₈	—	2	2	no	—
342	C₈	—	2	2	no	—
343	C₈	—	2	2	no	—
344	C₈	—	4	2	no	—
345	C₈	—	4	2	no	—
346	C₈	—	4	1	no	—
347	C₈	—	4	1	no	—
348	C₈	—	4	1	no	—
349	C₈	—	8	2	no	—
350	C₈	—	8	2	no	—
351	C₈	#424	1	4	yes	complemented
352	C₂²	—	4	4	no	—
353	C₂²	—	4	4	no	—
354	C₂²	—	4	4	no	—
355	C₂²	—	8	2	no	—
356	C₂²	—	8	2	no	—
357	C₂²	—	8	2	no	—
358	C₂²	—	8	2	no	—
359	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	#2931	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	#2935	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	#2951	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	C₂×#443	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	#2957	1	1	yes	characteristic
366	C₄	—	2	2	no	—
367	C₄	—	2	2	no	—
368	C₄	—	2	1	no	—
369	C₄	—	2	1	no	—
370	C₄	—	2	2	no	—
371	C₄	—	4	1	no	—
372	C₄	—	4	4	no	—
373	C₄	—	8	2	no	—
374	C₄	—	8	2	no	—
375	C₄	C₂×#424	1	1	yes	characteristic
376	C₄	#2906	1	1	yes	characteristic
377	C₄	#2993	1	1	yes	characteristic
378	C₄	#2994	1	1	yes	characteristic
379	C₄	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
380	C₄	#3283	1	1	yes	characteristic
381	C₄	Q₈×D₈	1	1	yes	characteristic
382	C₄	#3380	1	1	yes	characteristic
383	C₂	—	8	4	no	—
384	C₂	#17956	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#17973	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#18066	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#18087	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#22651	1	1	yes	characteristic
389	C₂	C₄⋊C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#22688	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×D₈	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×C₄⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #22651	C₂	semidirect
5. #9594	C₂	semidirect
6. #9594	C₂	semidirect
7. #8847	C₂	semidirect
8. #8843	C₂	semidirect
9. #8806	C₂	semidirect
10. #8567	C₂	semidirect
11. C₈×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
170. C₄⋊C₈	D₈	semidirect
351. C₈	#424	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22651	2
#21275	2
C₂×#1589	2
C₂×C₈×D₈	2
#9594	2
#8847	2
#8843	2
#8806	2
#8567	2
C₈×C₄⋊C₈	2