Subgroups — #225476

Order 512.

634 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22721	C₂	1	2	yes	maximal
2	#21276	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1591	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×C₈×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#9594	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#9594	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#8848	C₂	1	2	yes	maximal
8	#8844	C₂	1	2	yes	maximal
9	#8806	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#8568	C₂	1	2	yes	maximal
11	C₈×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#446	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#2295	C₂²	1	2	yes	—
16	#1969	C₄	1	1	yes	characteristic
17	#1969	C₄	1	1	yes	characteristic
18	#1942	C₄	1	1	yes	characteristic
19	#1942	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#1940	—	2	2	no	—
21	#1939	—	2	2	no	—
22	#1939	C₂²	1	2	yes	—
23	#1939	C₂²	1	2	yes	—
24	#1933	C₄	1	2	yes	—
25	#1933	C₄	1	2	yes	—
26	#1843	—	2	2	no	—
27	#1842	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1768	—	2	2	no	—
30	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₄×#103	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1591	—	2	4	no	—
35	C₈×Q₁₆	—	2	4	no	—
36	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1279	C₂²	1	2	yes	—
44	#1279	C₂²	1	2	yes	—
45	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1273	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
49	#446	—	2	4	no	—
50	#446	—	4	2	no	—
51	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
52	C₈×Q₈	—	4	2	no	—
53	C₄×Q₁₆	D₄	1	4	yes	—
54	C₄×Q₁₆	Q₈	1	4	yes	—
55	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×#97	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	#389	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	#389	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#387	—	2	2	no	—
89	#387	—	2	2	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
91	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	#376	—	2	2	no	—
93	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	#336	—	2	2	no	—
98	#336	—	2	2	no	—
99	#336	—	2	1	no	—
100	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
101	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
102	#335	—	2	2	no	—
103	#335	—	2	2	no	—
104	#335	—	4	2	no	—
105	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
106	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
107	C₈²	—	2	2	no	—
108	C₈²	—	2	2	no	—
109	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
112	C₂×Q₁₆	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
113	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
126	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
127	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
128	C₄×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
144	#107	—	2	2	no	—
145	#107	—	2	2	no	—
146	#107	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
147	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
148	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
154	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
155	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
156	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
157	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
158	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
159	C₄⋊C₈	Q₁₆	1	4	yes	complemented
160	#103	—	2	4	no	—
161	#103	—	4	2	no	—
162	#103	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
163	#97	—	4	4	no	—
164	C₄×C₈	—	2	2	no	—
165	C₄×C₈	—	2	2	no	—
166	C₄×C₈	—	2	2	no	—
167	C₄×C₈	—	2	1	no	—
168	C₄×C₈	—	2	1	no	—
169	C₄×C₈	—	2	1	no	—
170	C₄×C₈	—	2	1	no	—
171	C₄×C₈	—	2	1	no	—
172	C₄×C₈	—	2	1	no	—
173	C₄×C₈	—	2	1	no	—
174	C₄×C₈	—	2	1	no	—
175	C₄×C₈	—	2	1	no	—
176	C₄×C₈	—	2	1	no	—
177	C₄×C₈	—	4	1	no	—
178	C₄×C₈	—	4	4	no	—
179	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
181	#95	—	2	2	no	—
182	#95	—	2	2	no	—
183	#95	—	2	2	no	—
184	#95	—	2	2	no	—
185	#95	—	2	2	no	—
186	#95	—	2	2	no	—
187	#95	—	2	2	no	—
188	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
189	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
193	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
205	Q₁₆	—	2	8	no	—
206	C₂×C₈	—	2	1	no	—
207	C₂×C₈	—	2	1	no	—
208	C₂×C₈	—	2	1	no	—
209	C₂×C₈	—	2	1	no	—
210	C₂×C₈	—	2	1	no	—
211	C₂×C₈	—	2	1	no	—
212	C₂×C₈	—	2	1	no	—
213	C₂×C₈	—	2	1	no	—
214	C₂×C₈	—	2	2	no	—
215	C₂×C₈	—	2	2	no	—
216	C₂×C₈	—	2	1	no	—
217	C₂×C₈	—	2	1	no	—
218	C₂×C₈	—	2	1	no	—
219	C₂×C₈	—	2	1	no	—
220	C₂×C₈	—	2	1	no	—
221	C₂×C₈	—	2	1	no	—
222	C₂×C₈	—	2	1	no	—
223	C₂×C₈	—	2	1	no	—
224	C₂×C₈	—	2	1	no	—
225	C₂×C₈	—	4	1	no	—
226	C₂×C₈	—	4	1	no	—
227	C₂×C₈	—	4	1	no	—
228	C₂×C₈	—	4	1	no	—
229	C₂×C₈	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	2	no	—
234	C₂×C₈	—	4	2	no	—
235	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
236	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
237	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
238	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
239	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
240	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
241	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
242	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
251	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
252	C₄²	—	2	4	no	—
253	C₄²	—	2	4	no	—
254	C₄²	—	2	1	no	—
255	C₄²	—	2	1	no	—
256	C₄²	—	2	1	no	—
257	C₄²	—	2	1	no	—
258	C₄²	—	2	1	no	—
259	C₄²	—	2	1	no	—
260	C₄²	—	2	2	no	—
261	C₄²	—	4	1	no	—
262	C₄²	—	4	2	no	—
263	C₄²	—	4	2	no	—
264	C₄²	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
265	C₄²	#135	1	2	yes	—
266	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
268	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
269	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
270	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
271	Q₈	—	2	4	no	—
272	Q₈	—	2	4	no	—
273	Q₈	—	4	2	no	—
274	Q₈	—	4	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	1	no	—
276	C₂×C₄	—	2	1	no	—
277	C₂×C₄	—	2	1	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	C₄×Q₁₆	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₄×Q₁₆	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#443	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
315	C₈	—	2	2	no	—
316	C₈	—	2	2	no	—
317	C₈	—	2	2	no	—
318	C₈	—	2	2	no	—
319	C₈	—	4	2	no	—
320	C₈	—	4	2	no	—
321	C₈	—	4	1	no	—
322	C₈	—	4	1	no	—
323	C₈	—	4	1	no	—
324	C₈	—	8	2	no	—
325	C₈	—	8	2	no	—
326	C₈	#424	1	4	yes	—
327	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	#2931	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	#2935	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	C₂×C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	#2951	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	C₂×#443	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#2957	1	1	yes	characteristic
334	C₄	—	2	2	no	—
335	C₄	—	2	2	no	—
336	C₄	—	2	1	no	—
337	C₄	—	2	1	no	—
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	4	1	no	—
340	C₄	—	4	4	no	—
341	C₄	—	4	4	no	—
342	C₄	—	8	2	no	—
343	C₄	—	8	2	no	—
344	C₄	C₂×#424	1	1	yes	characteristic
345	C₄	#2906	1	1	yes	characteristic
346	C₄	#2993	1	1	yes	characteristic
347	C₄	#2994	1	1	yes	characteristic
348	C₄	D₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
349	C₄	#3287	1	1	yes	characteristic
350	C₄	Q₈×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
351	C₄	#3383	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#17958	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#17973	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#18068	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#18087	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#22651	1	1	yes	characteristic
357	C₂	C₄⋊C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#22688	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle, prime radical	C₂³	C₂×C₄×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×C₄⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
159. C₄⋊C₈	Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22721	2
#21276	2
C₂×#1591	2
C₂×C₈×Q₁₆	2
#9594	2
#8848	2
#8844	2
#8806	2
#8568	2
C₈×C₄⋊C₈	2