Subgroups — #225488

Order 512.

730 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 364 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22651	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#21275	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1581	C₂	1	2	yes	maximal
4	#9598	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8847	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8843	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8806	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#8567	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8261	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#424	—	2	2	no	—
14	#2293	C₂²	1	2	yes	—
15	#1970	C₄	1	1	yes	characteristic
16	#1970	C₄	1	1	yes	characteristic
17	#1942	C₄	1	1	yes	characteristic
18	#1942	C₄	1	1	yes	characteristic
19	#1939	C₂²	1	2	yes	—
20	#1939	C₂²	1	2	yes	—
21	#1934	C₄	1	2	yes	—
22	#1934	C₄	1	2	yes	—
23	#1851	—	2	2	no	—
24	#1850	—	2	2	no	—
25	#1842	C₂²	1	2	yes	—
26	#1798	—	2	2	no	—
27	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₄×#102	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1581	—	2	8	no	—
33	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
39	#1279	C₂²	1	2	yes	—
40	#1279	C₂²	1	2	yes	—
41	#1273	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
44	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×#117	—	2	2	no	—
47	C₄×D₈	D₄	1	4	yes	—
48	C₄×D₈	Q₈	1	4	yes	—
49	#436	—	2	4	no	—
50	#436	—	4	2	no	—
51	C₈×D₄	—	2	4	no	—
52	C₈×D₄	—	4	2	no	—
53	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	#424	—	4	8	no	—
57	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	#389	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#389	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#388	—	2	2	no	—
84	#388	—	2	2	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	#336	—	2	2	no	—
92	#336	—	2	2	no	—
93	#336	—	2	1	no	—
94	#336	D₄	1	2	yes	—
95	#335	—	2	4	no	—
96	#335	—	4	1	no	—
97	#335	—	4	1	no	—
98	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
99	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
100	#322	—	2	4	no	—
101	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
103	C₂×D₈	—	4	1	no	—
104	C₂×D₈	—	4	1	no	—
105	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
106	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
107	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
108	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
113	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
114	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
115	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₄×D₄	—	2	2	no	—
122	C₄×D₄	—	2	2	no	—
123	C₄×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
124	C₄×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
125	#117	—	4	4	no	—
126	#117	—	4	4	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
145	#107	—	4	1	no	—
146	#107	—	4	1	no	—
147	#107	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
148	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
154	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
155	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
156	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
157	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
158	C₄⋊C₈	D₈	1	4	yes	complemented
159	#102	—	2	4	no	—
160	#102	—	4	2	no	—
161	#102	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
162	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
163	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
164	C₄×C₈	—	2	2	no	—
165	C₄×C₈	—	2	2	no	—
166	C₄×C₈	—	2	2	no	—
167	C₄×C₈	—	2	1	no	—
168	C₄×C₈	—	2	2	no	—
169	C₄×C₈	—	2	1	no	—
170	C₄×C₈	—	2	2	no	—
171	C₄×C₈	—	4	1	no	—
172	C₄×C₈	—	4	1	no	—
173	C₄×C₈	—	4	1	no	—
174	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
176	#95	—	2	2	no	—
177	#95	—	2	2	no	—
178	#95	—	2	2	no	—
179	C₂⁴	—	2	2	no	—
180	C₂×D₄	—	2	2	no	—
181	C₂×D₄	—	2	2	no	—
182	C₂×D₄	—	2	2	no	—
183	C₂×D₄	—	2	2	no	—
184	C₂×D₄	—	2	2	no	—
185	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
195	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
202	D₈	—	4	4	no	—
203	M₁₆	—	8	8	no	—
204	C₂×C₈	—	2	1	no	—
205	C₂×C₈	—	2	2	no	—
206	C₂×C₈	—	2	1	no	—
207	C₂×C₈	—	2	1	no	—
208	C₂×C₈	—	2	1	no	—
209	C₂×C₈	—	2	1	no	—
210	C₂×C₈	—	2	1	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	1	no	—
213	C₂×C₈	—	2	2	no	—
214	C₂×C₈	—	2	1	no	—
215	C₂×C₈	—	2	1	no	—
216	C₂×C₈	—	2	2	no	—
217	C₂×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂×C₈	—	4	2	no	—
219	C₂×C₈	—	4	2	no	—
220	C₂×C₈	—	4	2	no	—
221	C₂×C₈	—	4	2	no	—
222	C₂×C₈	—	4	2	no	—
223	C₂×C₈	—	4	2	no	—
224	C₂×C₈	—	4	2	no	—
225	C₂×C₈	—	4	2	no	—
226	C₂×C₈	—	4	2	no	—
227	C₂×C₈	—	8	8	no	—
228	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
229	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
230	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
231	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
232	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
246	C₄²	—	2	1	no	—
247	C₄²	—	2	1	no	—
248	C₄²	—	2	1	no	—
249	C₄²	—	2	1	no	—
250	C₄²	—	2	1	no	—
251	C₄²	—	2	1	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	4	1	no	—
254	C₄²	—	4	2	no	—
255	C₄²	—	4	2	no	—
256	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
257	C₄²	#135	1	2	yes	—
258	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
260	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
261	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
262	C₂³	—	2	4	no	—
263	C₂³	—	4	2	no	—
264	C₂³	—	4	2	no	—
265	C₂³	—	4	2	no	—
266	C₂³	—	4	2	no	—
267	C₂³	—	4	2	no	—
268	C₂³	—	4	2	no	—
269	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
270	D₄	—	2	4	no	—
271	D₄	—	2	4	no	—
272	D₄	—	4	2	no	—
273	D₄	—	4	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	1	no	—
275	C₂×C₄	—	2	1	no	—
276	C₂×C₄	—	2	1	no	—
277	C₂×C₄	—	2	1	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#444	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
315	C₈	—	2	2	no	—
316	C₈	—	2	2	no	—
317	C₈	—	2	2	no	—
318	C₈	—	2	4	no	—
319	C₈	—	4	1	no	—
320	C₈	—	4	2	no	—
321	C₈	—	8	2	no	—
322	C₈	—	8	2	no	—
323	C₈	—	8	2	no	—
324	C₂²	—	4	4	no	—
325	C₂²	—	4	4	no	—
326	C₂²	—	4	4	no	—
327	C₂²	—	8	2	no	—
328	C₂²	—	8	2	no	—
329	C₂²	—	8	2	no	—
330	C₂²	—	8	2	no	—
331	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	#2932	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#2935	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	#2951	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂×#444	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#2957	1	1	yes	characteristic
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	2	1	no	—
341	C₄	—	2	1	no	—
342	C₄	—	2	2	no	—
343	C₄	—	4	1	no	—
344	C₄	—	4	4	no	—
345	C₄	—	8	2	no	—
346	C₄	—	8	2	no	—
347	C₄	#2905	1	1	yes	characteristic
348	C₄	#2906	1	1	yes	characteristic
349	C₄	#2992	1	1	yes	characteristic
350	C₄	#2995	1	1	yes	characteristic
351	C₄	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
352	C₄	#3283	1	1	yes	characteristic
353	C₄	Q₈×D₈	1	1	yes	characteristic
354	C₄	#3380	1	1	yes	characteristic
355	C₂	—	8	4	no	—
356	C₂	#17975	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#17992	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#18066	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#18092	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#22652	1	1	yes	characteristic
361	C₂	C₄⋊C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#22686	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×D₈	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×C₄⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #22651	C₂	semidirect
4. #9598	C₂	semidirect
5. #8847	C₂	semidirect
6. #8843	C₂	semidirect
7. #8806	C₂	semidirect
8. #8567	C₂	semidirect
9. #8261	C₂	semidirect
158. C₄⋊C₈	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22651	2
#21275	2
C₂×#1581	2
#9598	2
#8847	2
#8843	2
#8806	2
#8567	2
#8261	2