Subgroups — #225512

Order 512.

544 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 339 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21292	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#17882	C₂	1	2	yes	maximal
3	#17812	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9609	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8842	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8840	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8807	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#8606	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8267	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2989	C₂²	1	2	yes	—
11	#2988	C₂²	1	2	yes	—
12	C₄×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#2922	C₂²	1	2	yes	—
14	#1974	C₄	1	1	yes	characteristic
15	#1974	C₄	1	1	yes	characteristic
16	#1945	C₄	1	1	yes	characteristic
17	#1945	C₄	1	1	yes	characteristic
18	#1937	C₄	1	2	yes	—
19	#1937	C₄	1	2	yes	—
20	#1831	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#1831	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₄×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₄×#104	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1587	—	2	2	no	—
26	#1586	—	2	2	no	—
27	#1583	—	2	2	no	—
28	#1582	—	2	2	no	—
29	#1574	—	2	2	no	—
30	#1573	—	2	2	no	—
31	#1572	—	2	2	no	—
32	#1571	—	2	2	no	—
33	#1565	C₂²	1	2	yes	—
34	#1565	C₂²	1	2	yes	—
35	#1564	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1564	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
39	#1477	C₂²	1	2	yes	—
40	#1477	C₂²	1	2	yes	—
41	#1452	C₂²	1	2	yes	—
42	#1283	C₂²	1	2	yes	—
43	#1283	C₂²	1	2	yes	—
44	#1276	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂×#135	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₄×#41	C₂³	1	2	yes	—
47	#446	—	2	2	no	—
48	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
49	C₄×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₄×Q₁₆	Q₈	1	1	yes	characteristic
51	C₄×SD₁₆	D₄	1	2	yes	—
52	C₄×SD₁₆	Q₈	1	2	yes	—
53	C₄×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₄×D₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
55	#436	—	2	2	no	—
56	#435	—	4	2	no	—
57	C₈×D₄	—	2	2	no	—
58	C₈×D₄	—	4	2	no	—
59	#433	—	2	2	no	—
60	#433	—	2	2	no	—
61	#432	—	2	2	no	—
62	#431	—	2	2	no	—
63	#431	—	2	2	no	—
64	#431	—	2	2	no	—
65	#431	C₂³	1	2	yes	—
66	#431	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#108	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×#108	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	#427	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	#424	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	#424	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	#423	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#104	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	C₂×#104	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	#416	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#408	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	#408	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#341	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	#339	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	#339	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#336	—	4	1	no	—
93	#336	—	4	1	no	—
94	#335	—	2	2	no	—
95	#335	—	2	2	no	—
96	#335	—	2	2	no	—
97	#335	—	2	2	no	—
98	#335	—	2	1	no	—
99	#335	D₄	1	2	yes	—
100	#334	—	2	2	no	—
101	#334	—	2	2	no	—
102	#334	—	2	2	no	—
103	#334	—	2	2	no	—
104	#334	—	2	1	no	—
105	#334	D₄	1	1	yes	characteristic
106	#334	D₄	1	1	yes	characteristic
107	Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
108	Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
109	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
110	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
111	#322	—	2	2	no	—
112	#322	—	2	2	no	—
113	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	#135	—	4	1	no	—
115	#135	—	4	1	no	—
116	C₂×Q₁₆	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂×SD₁₆	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
120	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
125	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₄×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
131	C₄×D₄	—	2	2	no	—
132	C₄×D₄	—	2	2	no	—
133	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₄×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
135	#117	—	2	2	no	—
136	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
140	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
143	#108	—	4	1	no	—
144	#108	—	4	1	no	—
145	#107	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
146	#107	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
147	#106	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
148	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
154	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
156	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
157	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
158	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
159	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	#104	—	2	4	no	—
162	#104	—	4	2	no	—
163	#103	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
164	#103	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
165	#102	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
166	#102	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
167	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
168	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
169	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
170	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
171	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
172	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
173	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
174	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
175	#97	—	2	2	no	—
176	#97	—	4	2	no	—
177	C₄×C₈	—	2	2	no	—
178	C₄×C₈	—	2	2	no	—
179	C₄×C₈	—	2	2	no	—
180	C₄×C₈	—	2	2	no	—
181	C₄×C₈	—	4	1	no	—
182	C₄×C₈	—	4	1	no	—
183	C₄×C₈	—	4	1	no	—
184	C₄×C₈	—	4	2	no	—
185	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
190	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
191	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
192	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
193	#41	—	2	2	no	—
194	#41	—	2	2	no	—
195	#41	—	2	2	no	—
196	#41	—	2	2	no	—
197	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
198	C₂×D₄	—	2	2	no	—
199	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
208	Q₁₆	—	4	1	no	—
209	SD₁₆	—	4	2	no	—
210	D₈	—	4	1	no	—
211	M₁₆	—	2	2	no	—
212	M₁₆	—	2	2	no	—
213	M₁₆	—	2	2	no	—
214	M₁₆	—	2	2	no	—
215	M₁₆	—	16	2	no	—
216	C₂×C₈	—	2	1	no	—
217	C₂×C₈	—	2	1	no	—
218	C₂×C₈	—	2	1	no	—
219	C₂×C₈	—	2	1	no	—
220	C₂×C₈	—	2	1	no	—
221	C₂×C₈	—	2	1	no	—
222	C₂×C₈	—	2	1	no	—
223	C₂×C₈	—	2	1	no	—
224	C₂×C₈	—	2	2	no	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	4	2	no	—
229	C₂×C₈	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	—	8	2	no	—
232	C₂×C₈	—	8	2	no	—
233	C₂×C₈	—	16	2	no	—
234	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
244	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
245	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
249	C₄²	—	2	2	no	—
250	C₄²	—	2	2	no	—
251	C₄²	—	2	2	no	—
252	C₄²	—	2	1	no	—
253	C₄²	—	2	1	no	—
254	C₄²	—	2	1	no	—
255	C₄²	—	4	2	no	—
256	C₄²	—	4	2	no	—
257	C₄²	#131	1	2	yes	—
258	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
261	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
262	C₂³	—	2	2	no	—
263	C₂³	#520	1	1	yes	characteristic
264	Q₈	—	2	2	no	—
265	Q₈	—	2	2	no	—
266	D₄	—	2	2	no	—
267	D₄	—	2	2	no	—
268	D₄	—	4	2	no	—
269	D₄	—	4	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	4	1	no	—
277	C₂×C₄	—	4	1	no	—
278	C₂×C₄	—	4	1	no	—
279	C₂×C₄	—	4	1	no	—
280	C₂×C₄	—	4	1	no	—
281	C₂×C₄	—	4	2	no	—
282	C₂×C₄	—	4	2	no	—
283	C₂×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂×C₄	—	4	2	no	—
285	C₂×C₄	—	8	2	no	—
286	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
296	C₈	—	2	1	no	—
297	C₈	—	2	1	no	—
298	C₈	—	2	1	no	—
299	C₈	—	2	1	no	—
300	C₈	—	2	1	no	—
301	C₈	—	2	1	no	—
302	C₈	—	2	1	no	—
303	C₈	—	2	1	no	—
304	C₈	—	4	2	no	—
305	C₈	—	4	2	no	—
306	C₈	—	4	2	no	—
307	C₈	—	4	2	no	—
308	C₈	—	8	2	no	—
309	C₈	—	8	2	no	—
310	C₈	—	8	2	no	—
311	C₂²	—	2	1	no	—
312	C₂²	—	2	1	no	—
313	C₂²	—	4	2	no	—
314	C₂²	—	4	2	no	—
315	C₂²	—	4	2	no	—
316	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	#2992	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	#2995	1	1	yes	characteristic
319	C₄	—	2	1	no	—
320	C₄	—	2	1	no	—
321	C₄	—	2	1	no	—
322	C₄	—	4	2	no	—
323	C₄	—	4	2	no	—
324	C₄	—	4	2	no	—
325	C₄	—	4	2	no	—
326	C₄	—	4	2	no	—
327	C₄	#2905	1	1	yes	characteristic
328	C₄	#2906	1	1	yes	characteristic
329	C₄	#2932	1	1	yes	characteristic
330	C₄	#2935	1	1	yes	characteristic
331	C₄	#3290	1	2	yes	—
332	C₂	—	2	1	no	—
333	C₂	—	2	1	no	—
334	C₂	—	8	2	no	—
335	C₂	#22652	1	1	yes	characteristic
336	C₂	#22691	1	1	yes	characteristic
337	C₂	#22694	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	D₄²
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	D₄×C₄⋊C₄
prime radical	C₂×#135	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #17812	C₂	semidirect
4. #9609	C₂	semidirect
5. #8842	C₂	semidirect
6. #8840	C₂	semidirect
7. #8807	C₂	semidirect
8. #8606	C₂	semidirect
9. #8267	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21292	2
#17882	2
#17812	2
#9609	2
#8842	2
#8840	2
#8807	2
#8606	2
#8267	2