Subgroups — #225516

Order 512.

832 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 254 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22670	C₂	1	2	yes	maximal
2	D₄×#106	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×C₈×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#9618	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8886	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8813	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8642	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#442	—	2	2	no	—
10	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#106	—	2	2	no	—
13	D₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
14	#1948	C₂²	1	4	yes	—
15	#1943	—	2	2	no	—
16	#1864	—	2	4	no	—
17	#1853	—	2	4	no	—
18	#1844	C₂²	1	2	yes	—
19	#1844	C₂²	1	2	yes	—
20	#1844	C₂²	1	2	yes	—
21	#1807	—	2	2	no	—
22	#1802	C₂²	1	4	yes	—
23	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1770	C₂²	1	2	yes	—
25	C₈×D₈	C₄	1	8	yes	complemented
26	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1296	C₂²	1	4	yes	—
31	#1279	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
34	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
35	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
37	#442	—	4	8	no	—
38	C₄×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₄×D₈	Q₈	1	4	yes	—
40	C₈×D₄	—	2	4	no	—
41	C₈×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
42	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#106	—	2	2	no	—
44	C₂×#106	—	2	2	no	—
45	C₂×#106	—	2	4	no	—
46	C₂×#106	—	2	2	no	—
47	C₂×#106	—	2	2	no	—
48	C₂×#106	—	4	8	no	—
49	C₂×#106	—	4	2	no	—
50	C₂×#106	D₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#102	—	2	4	no	—
54	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
56	C₂×#97	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#389	—	2	4	no	—
61	#385	—	4	4	no	—
62	#384	C₂³	1	4	yes	—
63	#380	—	2	4	no	—
64	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	#340	—	2	4	no	—
66	#340	—	2	4	no	—
67	#340	D₄	1	2	yes	—
68	#336	—	2	2	no	—
69	#335	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
70	#334	—	2	2	no	—
71	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
72	C₈²	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
73	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
74	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
75	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
76	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
77	C₂×D₈	SD₁₆	1	8	yes	—
78	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
79	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
80	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
81	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
82	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
83	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
84	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₄×D₄	—	2	2	no	—
89	C₄×D₄	—	2	2	no	—
90	C₄×D₄	—	4	8	no	—
91	C₄×D₄	—	8	4	no	—
92	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₄×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
94	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
95	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
96	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
97	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
98	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
104	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
105	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
106	#107	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
107	#106	—	2	4	no	—
108	#106	—	4	8	no	—
109	#106	—	4	4	no	—
110	#106	—	4	4	no	—
111	#106	—	8	2	no	—
112	#106	—	8	2	no	—
113	#106	—	8	4	no	—
114	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
115	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
116	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
117	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
118	#102	—	4	8	no	—
119	#102	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
120	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
121	#97	—	4	4	no	—
122	C₄×C₈	—	2	1	no	—
123	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
127	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
128	#95	—	2	2	no	—
129	#95	—	4	4	no	—
130	C₂⁴	—	2	2	no	—
131	C₂×D₄	—	2	2	no	—
132	C₂×D₄	—	2	4	no	—
133	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
134	C₂×D₄	C₂×SD₁₆	1	8	yes	—
135	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
139	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
140	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
141	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
142	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
143	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
144	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
145	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
146	C₂²×C₄	—	16	4	no	—
147	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
150	D₈	#106	1	16	yes	complemented
151	C₂×C₈	—	2	4	no	—
152	C₂×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂×C₈	—	2	4	no	—
156	C₂×C₈	—	4	2	no	—
157	C₂×C₈	—	4	2	no	—
158	C₂×C₈	—	4	16	no	—
159	C₂×C₈	—	4	2	no	—
160	C₂×C₈	—	4	2	no	—
161	C₂×C₈	—	4	2	no	—
162	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
167	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
168	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
172	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
173	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
174	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
175	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
176	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
177	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
178	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
181	C₄²	—	4	2	no	—
182	C₄²	—	4	2	no	—
183	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
185	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
186	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
187	C₂³	—	2	4	no	—
188	C₂³	—	2	8	no	—
189	C₂³	—	4	2	no	—
190	C₂³	—	4	2	no	—
191	C₂³	—	4	4	no	—
192	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
193	D₄	—	2	8	no	—
194	D₄	—	2	4	no	—
195	D₄	C₂×#106	1	8	yes	complemented
196	C₂×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂×C₄	—	8	4	no	—
208	C₂×C₄	—	8	4	no	—
209	C₂×C₄	—	8	4	no	—
210	C₂×C₄	—	16	16	no	—
211	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
218	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
219	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
220	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
221	C₈	—	2	4	no	—
222	C₈	—	2	2	no	—
223	C₈	—	2	2	no	—
224	C₈	—	4	4	no	—
225	C₈	—	8	2	no	—
226	C₈	C₂×#106	1	4	yes	complemented
227	C₈	#442	1	4	yes	complemented
228	C₂²	—	2	8	no	—
229	C₂²	—	4	4	no	—
230	C₂²	—	4	4	no	—
231	C₂²	—	4	8	no	—
232	C₂²	—	4	8	no	—
233	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²	#3272	1	2	yes	—
235	C₂²	D₄×SD₁₆	1	2	yes	—
236	C₂²	#3291	1	2	yes	—
237	C₄	—	2	1	no	—
238	C₄	—	2	1	no	—
239	C₄	—	4	4	no	—
240	C₄	—	8	4	no	—
241	C₄	—	16	4	no	—
242	C₄	C₂²×#106	1	1	yes	characteristic
243	C₄	#2912	1	1	yes	characteristic
244	C₄	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
245	C₄	#2952	1	1	yes	characteristic
246	C₄	#3335	1	2	yes	—
247	C₄	#3384	1	2	yes	—
248	C₂	—	4	8	no	—
249	C₂	#19890	1	4	yes	—
250	C₂	D₄×#106	1	1	yes	characteristic
251	C₂	#22670	1	1	yes	characteristic
252	C₂	#22689	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₈	D₄
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. D₄×#106	C₂	semidirect
4. #9618	C₂	semidirect
5. #8886	C₂	semidirect
6. #8813	C₂	semidirect
7. #8642	C₂	semidirect
8. #8283	C₂	semidirect
25. C₈×D₈	C₄	semidirect
41. C₈×D₄	C₂×C₄	semidirect
69. #335	C₂×C₄	semidirect
71. D₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
72. C₈²	C₂×C₄	semidirect
150. D₈	#106	semidirect
195. D₄	C₂×#106	semidirect
226. C₈	C₂×#106	semidirect
227. C₈	#442	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22670	2
D₄×#106	2
C₂×C₈×D₈	2
#9618	2
#8886	2
#8813	2
#8642	2
#8283	2