Subgroups — #225593

Order 512.

688 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 239 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22738	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₄⋊C₄×Q₁₆	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×C₈×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#9615	C₂	1	2	yes	maximal
5	#8888	C₂	1	4	yes	maximal
6	#8814	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#8647	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₈×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
11	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	Q₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
13	#1948	—	2	4	no	—
14	#1948	C₂²	1	4	yes	—
15	#1942	—	2	2	no	—
16	#1863	—	2	4	no	—
17	#1845	C₂²	1	2	yes	—
18	#1844	C₂²	1	2	yes	—
19	#1834	—	2	2	no	—
20	#1834	C₂²	1	2	yes	—
21	#1803	C₂²	1	4	yes	—
22	C₄×#106	—	2	2	no	—
23	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₈×Q₁₆	C₄	1	8	yes	complemented
26	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1296	C₂²	1	4	yes	—
31	#1279	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
34	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
35	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
36	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
37	C₄×Q₁₆	—	4	8	no	—
38	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₄×Q₁₆	Q₈	1	4	yes	—
40	C₂×#107	—	2	2	no	—
41	C₂×#107	—	2	2	no	—
42	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#106	—	2	4	no	—
44	C₂×#106	—	4	2	no	—
45	C₂×#106	D₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×#103	—	2	4	no	—
50	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#389	—	2	4	no	—
57	#389	—	4	4	no	—
58	#384	—	2	4	no	—
59	#384	C₂³	1	4	yes	—
60	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
61	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
62	#340	—	2	2	no	—
63	#340	—	2	2	no	—
64	#340	—	2	4	no	—
65	#340	—	2	4	no	—
66	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
67	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
68	#336	—	2	2	no	—
69	#335	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	#334	—	2	2	no	—
71	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
72	C₈²	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
74	C₂×Q₁₆	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
75	C₂×Q₁₆	SD₁₆	1	8	yes	—
76	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
77	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
84	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
85	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
86	C₄×Q₈	—	8	4	no	—
87	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
88	C₄×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
89	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
91	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
92	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
93	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
94	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
100	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
101	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
102	#107	—	4	4	no	—
103	#107	—	8	2	no	—
104	#107	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
105	#106	—	2	4	no	—
106	#106	—	4	8	no	—
107	#106	—	8	4	no	—
108	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
109	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
110	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
111	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
112	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
113	#103	—	4	8	no	—
114	#103	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
115	C₄×C₈	—	2	8	no	—
116	C₄×C₈	—	2	1	no	—
117	C₄×C₈	—	4	4	no	—
118	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
122	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
123	#95	—	2	2	no	—
124	#95	—	4	4	no	—
125	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
126	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
127	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
128	C₂×Q₈	C₂×SD₁₆	1	8	yes	—
129	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
134	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
137	Q₁₆	#106	1	16	yes	complemented
138	C₂×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂×C₈	—	2	4	no	—
145	C₂×C₈	—	4	4	no	—
146	C₂×C₈	—	4	2	no	—
147	C₂×C₈	—	4	2	no	—
148	C₂×C₈	—	4	2	no	—
149	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
154	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
161	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
162	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
163	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
164	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
165	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
166	C₄⋊C₄	—	16	4	no	—
167	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
168	C₄⋊C₄	#135	1	4	yes	—
169	C₄²	—	2	4	no	—
170	C₄²	—	2	4	no	—
171	C₄²	—	4	2	no	—
172	C₄²	—	4	2	no	—
173	C₄²	—	8	8	no	—
174	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
176	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
177	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
178	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
179	Q₈	—	2	8	no	—
180	Q₈	—	2	4	no	—
181	Q₈	C₂×#106	1	8	yes	—
182	C₂×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄	—	2	8	no	—
184	C₂×C₄	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄	—	4	2	no	—
189	C₂×C₄	—	4	2	no	—
190	C₂×C₄	—	4	2	no	—
191	C₂×C₄	—	4	2	no	—
192	C₂×C₄	—	4	2	no	—
193	C₂×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂×C₄	—	4	2	no	—
195	C₂×C₄	—	8	4	no	—
196	C₂×C₄	—	8	4	no	—
197	C₂×C₄	—	8	4	no	—
198	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
205	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
206	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
207	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
208	C₈	—	2	4	no	—
209	C₈	—	2	2	no	—
210	C₈	—	2	2	no	—
211	C₈	—	2	2	no	—
212	C₈	—	4	4	no	—
213	C₈	—	8	2	no	—
214	C₈	C₂×#106	1	4	yes	—
215	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²	D₄×SD₁₆	1	2	yes	—
217	C₂²	#3285	1	2	yes	—
218	C₂²	#3292	1	1	yes	characteristic
219	C₂²	#3293	1	1	yes	characteristic
220	C₄	—	2	8	no	—
221	C₄	—	2	1	no	—
222	C₄	—	2	1	no	—
223	C₄	—	4	4	no	—
224	C₄	—	4	4	no	—
225	C₄	—	8	2	no	—
226	C₄	—	16	4	no	—
227	C₄	C₂²×#106	1	1	yes	characteristic
228	C₄	#2912	1	1	yes	characteristic
229	C₄	C₄×#135	1	1	yes	characteristic
230	C₄	#2950	1	1	yes	characteristic
231	C₄	#3335	1	2	yes	—
232	C₄	#3383	1	2	yes	—
233	C₂	#19983	1	2	yes	—
234	C₂	#19986	1	2	yes	—
235	C₂	D₄×#106	1	1	yes	characteristic
236	C₂	#22685	1	1	yes	characteristic
237	C₂	#22692	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
25. C₈×Q₁₆	C₄	semidirect
137. Q₁₆	#106	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22738	2
C₄⋊C₄×Q₁₆	2
C₂×C₈×Q₁₆	2
#9615	2
#8888	2
#8814	2
#8647	2
C₈×#106	2