Subgroups — #225596

Order 512.

724 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 365 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22766	C₂	1	2	yes	maximal
2	#22707	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#22703	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×C₈×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#9616	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8893	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8890	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8817	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#8646	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#8646	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#2354	C₂²	1	2	yes	—
16	D₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	#1948	C₂²	1	2	yes	—
18	#1947	C₂²	1	2	yes	—
19	#1934	—	2	2	no	—
20	#1918	—	2	2	no	—
21	#1879	—	2	2	no	—
22	#1854	—	2	2	no	—
23	#1853	—	2	2	no	—
24	#1834	C₂²	1	2	yes	—
25	#1834	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1834	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1834	C₂²	1	2	yes	—
28	#1808	—	2	1	no	—
29	#1807	—	2	1	no	—
30	#1802	C₂²	1	2	yes	—
31	#1802	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄×#102	—	2	2	no	—
35	#1735	—	2	1	no	—
36	C₂×#340	—	2	1	no	—
37	C₈×D₈	C₄	1	8	yes	complemented
38	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1296	C₂²	1	2	yes	—
44	#1296	C₂²	1	2	yes	—
45	#1279	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
48	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#117	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
54	C₄×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₄×D₈	Q₈	1	4	yes	—
56	C₈×D₄	—	2	2	no	—
57	C₈×D₄	—	2	2	no	—
58	C₈×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₈×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
60	C₂×#107	—	2	2	no	—
61	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#106	—	2	2	no	—
63	C₂×#106	D₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#102	—	2	2	no	—
68	C₂×#102	—	2	2	no	—
69	C₂×#102	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#102	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
72	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#390	—	2	2	no	—
78	#389	—	2	2	no	—
79	#388	—	4	2	no	—
80	#385	—	4	2	no	—
81	#384	C₂³	1	2	yes	—
82	#384	C₂³	1	2	yes	—
83	#380	—	2	2	no	—
84	#380	—	2	2	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
87	#340	—	2	1	no	—
88	#340	—	2	1	no	—
89	#340	—	2	1	no	—
90	#340	—	2	1	no	—
91	#340	—	2	2	no	—
92	#340	—	2	2	no	—
93	#340	—	2	2	no	—
94	#340	—	2	2	no	—
95	#340	—	2	2	no	—
96	#340	—	2	2	no	—
97	#340	—	4	2	no	—
98	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
99	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
100	#336	—	2	2	no	—
101	#335	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
102	#334	—	2	2	no	—
103	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
104	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
105	C₈²	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
106	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
110	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
111	C₂×D₈	—	2	4	no	—
112	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
113	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
121	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₄×D₄	—	2	1	no	—
126	C₄×D₄	—	2	1	no	—
127	C₄×D₄	—	2	1	no	—
128	C₄×D₄	—	2	1	no	—
129	C₄×D₄	—	4	4	no	—
130	C₄×D₄	—	8	2	no	—
131	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₄×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
134	C₄×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
135	#117	—	4	4	no	—
136	#117	—	8	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
157	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
158	#107	—	8	2	no	—
159	#107	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
160	#106	—	2	4	no	—
161	#106	—	8	2	no	—
162	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
164	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
165	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
166	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
167	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
168	#102	—	4	4	no	—
169	#102	—	8	2	no	—
170	#102	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
171	#102	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
172	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
173	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
174	C₄×C₈	—	2	1	no	—
175	C₄×C₈	—	8	2	no	—
176	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
177	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
178	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
179	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
180	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
181	#95	—	2	2	no	—
182	#95	—	4	2	no	—
183	#95	—	4	2	no	—
184	C₂⁴	—	2	1	no	—
185	C₂⁴	—	2	1	no	—
186	C₂×D₄	—	2	1	no	—
187	C₂×D₄	—	2	1	no	—
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	2	2	no	—
190	C₂×D₄	—	2	2	no	—
191	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
192	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
193	C₂×D₄	#135	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
211	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
214	D₈	—	2	8	no	—
215	C₂×C₈	—	2	2	no	—
216	C₂×C₈	—	2	2	no	—
217	C₂×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂×C₈	—	2	2	no	—
219	C₂×C₈	—	2	2	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	4	1	no	—
223	C₂×C₈	—	4	1	no	—
224	C₂×C₈	—	4	2	no	—
225	C₂×C₈	—	4	2	no	—
226	C₂×C₈	—	4	2	no	—
227	C₂×C₈	—	4	2	no	—
228	C₂×C₈	—	4	2	no	—
229	C₂×C₈	—	8	4	no	—
230	C₂×C₈	—	8	4	no	—
231	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
232	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
233	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
234	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
235	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
251	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
252	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
253	C₄⋊C₄	#135	1	4	yes	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
261	C₄²	—	4	2	no	—
262	C₄²	—	4	2	no	—
263	C₄²	—	8	4	no	—
264	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
265	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
266	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
267	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	4	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	4	2	no	—
272	C₂³	—	4	1	no	—
273	C₂³	—	4	1	no	—
274	C₂³	—	4	2	no	—
275	C₂³	—	4	2	no	—
276	C₂³	—	4	1	no	—
277	C₂³	—	4	1	no	—
278	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
279	D₄	—	2	4	no	—
280	D₄	—	2	2	no	—
281	D₄	—	2	2	no	—
282	D₄	—	2	2	no	—
283	D₄	—	4	2	no	—
284	D₄	#427	1	4	yes	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	4	2	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	8	2	no	—
304	C₂×C₄	—	8	2	no	—
305	C₂×C₄	—	8	2	no	—
306	C₂×C₄	—	8	2	no	—
307	C₂×C₄	—	8	2	no	—
308	C₂×C₄	—	8	2	no	—
309	C₂×C₄	—	16	8	no	—
310	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
320	C₈	—	2	2	no	—
321	C₈	—	2	2	no	—
322	C₈	—	2	2	no	—
323	C₈	—	2	2	no	—
324	C₈	—	4	2	no	—
325	C₈	—	4	2	no	—
326	C₈	—	4	2	no	—
327	C₈	—	8	2	no	—
328	C₂²	—	2	4	no	—
329	C₂²	—	4	4	no	—
330	C₂²	—	4	4	no	—
331	C₂²	—	4	2	no	—
332	C₂²	—	4	2	no	—
333	C₂²	—	4	2	no	—
334	C₂²	—	4	2	no	—
335	C₂²	—	4	2	no	—
336	C₂²	—	8	2	no	—
337	C₂²	—	8	2	no	—
338	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	#3280	1	2	yes	—
340	C₂²	#3282	1	2	yes	—
341	C₂²	#3290	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	#3290	1	1	yes	characteristic
343	C₄	—	2	1	no	—
344	C₄	—	2	1	no	—
345	C₄	—	4	4	no	—
346	C₄	—	4	2	no	—
347	C₄	—	4	2	no	—
348	C₄	—	8	2	no	—
349	C₄	—	16	2	no	—
350	C₄	—	16	2	no	—
351	C₄	C₂×#427	1	1	yes	characteristic
352	C₄	#2912	1	1	yes	characteristic
353	C₄	C₄×#135	1	1	yes	characteristic
354	C₄	#2948	1	1	yes	characteristic
355	C₄	#3337	1	2	yes	—
356	C₄	#3380	1	2	yes	—
357	C₂	—	4	4	no	—
358	C₂	—	8	2	no	—
359	C₂	#19988	1	2	yes	—
360	C₂	#19991	1	2	yes	—
361	C₂	#22654	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#22682	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#22691	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₈	D₄
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22707	C₂	semidirect
3. #22703	C₂	semidirect
5. #9616	C₂	semidirect
6. #8893	C₂	semidirect
7. #8890	C₂	semidirect
8. #8817	C₂	semidirect
9. #8646	C₂	semidirect
10. #8646	C₂	semidirect
11. C₈×#106	C₂	semidirect
37. C₈×D₈	C₄	semidirect
59. C₈×D₄	C₂×C₄	semidirect
101. #335	C₂×C₄	semidirect
104. D₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
105. C₈²	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22766	2
#22707	2
#22703	2
C₂×C₈×D₈	2
#9616	2
#8893	2
#8890	2
#8817	2
#8646	2
C₈×#106	2