Subgroups — #225599

Order 512.

638 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 337 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22771	C₂	1	2	yes	maximal
2	#22725	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	Q₈×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×C₈×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#9616	C₂	1	2	yes	maximal
6	#8884	C₂	1	2	yes	maximal
7	#8883	C₂	1	2	yes	maximal
8	#8814	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#8643	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#8643	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₈×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#2355	C₂²	1	2	yes	—
16	Q₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	#1949	—	2	2	no	—
18	#1948	—	2	2	no	—
19	#1948	C₂²	1	2	yes	—
20	#1947	C₂²	1	2	yes	—
21	#1933	—	2	2	no	—
22	#1921	—	2	2	no	—
23	#1878	—	2	2	no	—
24	#1846	—	2	1	no	—
25	#1845	C₂²	1	2	yes	—
26	#1844	—	2	1	no	—
27	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1834	C₂²	1	2	yes	—
30	#1803	C₂²	1	2	yes	—
31	#1803	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×#106	—	2	1	no	—
33	C₄×#106	—	2	1	no	—
34	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
36	C₄×#103	—	2	2	no	—
37	C₈×Q₁₆	C₄	1	8	yes	complemented
38	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1296	C₂²	1	2	yes	—
44	#1296	C₂²	1	2	yes	—
45	#1279	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
51	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
52	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₄×Q₁₆	Q₈	1	4	yes	—
56	C₂×#107	—	2	2	no	—
57	C₂×#107	—	4	2	no	—
58	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#106	—	2	1	no	—
60	C₂×#106	—	2	1	no	—
61	C₂×#106	—	2	1	no	—
62	C₂×#106	—	2	1	no	—
63	C₂×#106	—	2	2	no	—
64	C₂×#106	D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#106	D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×#103	—	2	2	no	—
72	C₂×#103	—	2	2	no	—
73	C₂×#103	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×#103	D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	#391	—	2	2	no	—
82	#389	—	2	2	no	—
83	#389	—	4	2	no	—
84	#387	—	4	2	no	—
85	#384	—	2	2	no	—
86	#384	C₂³	1	2	yes	—
87	#384	C₂³	1	2	yes	—
88	#382	—	2	2	no	—
89	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
91	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
92	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	#340	—	2	2	no	—
94	#340	—	2	2	no	—
95	#340	—	2	2	no	—
96	#340	—	2	2	no	—
97	#340	—	2	2	no	—
98	#340	—	2	2	no	—
99	#340	D₄	1	2	yes	—
100	#336	—	2	2	no	—
101	#335	C₂×C₄	1	4	yes	—
102	#334	—	2	2	no	—
103	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
104	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
105	C₈²	C₂×C₄	1	4	yes	—
106	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
109	C₂×Q₁₆	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
110	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
119	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
120	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
121	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
122	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
123	C₄×Q₈	—	8	2	no	—
124	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₄×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
127	C₄×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
146	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
147	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
148	#107	—	8	2	no	—
149	#107	—	8	4	no	—
150	#107	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
151	#106	—	2	2	no	—
152	#106	—	4	2	no	—
153	#106	—	4	2	no	—
154	#106	—	8	2	no	—
155	#106	—	8	1	no	—
156	#106	—	8	1	no	—
157	#106	Q₁₆	1	4	yes	complemented
158	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
159	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
160	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
161	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
162	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
164	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
165	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
166	#103	—	4	4	no	—
167	#103	—	8	2	no	—
168	#103	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
169	#103	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
170	C₄×C₈	—	2	4	no	—
171	C₄×C₈	—	2	4	no	—
172	C₄×C₈	—	2	1	no	—
173	C₄×C₈	—	8	2	no	—
174	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
175	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
176	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
177	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
178	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
179	#95	—	2	2	no	—
180	#95	—	4	2	no	—
181	#95	—	4	2	no	—
182	#95	—	4	2	no	—
183	#95	—	4	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
188	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
189	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
190	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
191	C₂×Q₈	#135	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
203	Q₁₆	—	2	8	no	—
204	C₂×C₈	—	2	4	no	—
205	C₂×C₈	—	2	2	no	—
206	C₂×C₈	—	2	2	no	—
207	C₂×C₈	—	2	1	no	—
208	C₂×C₈	—	2	2	no	—
209	C₂×C₈	—	2	1	no	—
210	C₂×C₈	—	2	2	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	4	1	no	—
213	C₂×C₈	—	4	1	no	—
214	C₂×C₈	—	4	1	no	—
215	C₂×C₈	—	4	1	no	—
216	C₂×C₈	—	4	2	no	—
217	C₂×C₈	—	4	2	no	—
218	C₂×C₈	—	4	2	no	—
219	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
220	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
221	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
222	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
223	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
224	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
225	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
246	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
247	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
248	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
249	C₄²	—	2	2	no	—
250	C₄²	—	2	2	no	—
251	C₄²	—	2	2	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	4	2	no	—
254	C₄²	—	4	2	no	—
255	C₄²	—	8	4	no	—
256	C₄²	—	16	2	no	—
257	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
258	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
259	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
260	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
261	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
262	Q₈	—	2	4	no	—
263	Q₈	—	2	2	no	—
264	Q₈	—	2	2	no	—
265	Q₈	—	2	2	no	—
266	Q₈	—	4	2	no	—
267	Q₈	#427	1	4	yes	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂×C₄	—	4	2	no	—
279	C₂×C₄	—	4	2	no	—
280	C₂×C₄	—	4	2	no	—
281	C₂×C₄	—	4	2	no	—
282	C₂×C₄	—	4	2	no	—
283	C₂×C₄	—	8	2	no	—
284	C₂×C₄	—	8	2	no	—
285	C₂×C₄	—	8	2	no	—
286	C₂×C₄	—	8	2	no	—
287	C₂×C₄	—	8	2	no	—
288	C₂×C₄	—	8	2	no	—
289	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
301	C₈	—	2	4	no	—
302	C₈	—	2	2	no	—
303	C₈	—	2	2	no	—
304	C₈	—	2	2	no	—
305	C₈	—	4	2	no	—
306	C₈	—	4	2	no	—
307	C₈	—	8	2	no	—
308	C₈	C₄×Q₁₆	1	4	yes	—
309	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	#3282	1	2	yes	—
311	C₂²	D₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	#3287	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	#3291	1	2	yes	—
314	C₄	—	2	4	no	—
315	C₄	—	2	1	no	—
316	C₄	—	2	1	no	—
317	C₄	—	4	4	no	—
318	C₄	—	4	2	no	—
319	C₄	—	4	2	no	—
320	C₄	—	4	2	no	—
321	C₄	—	8	2	no	—
322	C₄	—	16	2	no	—
323	C₄	—	16	2	no	—
324	C₄	C₂×#427	1	1	yes	characteristic
325	C₄	#2912	1	1	yes	characteristic
326	C₄	C₂×C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
327	C₄	#2951	1	1	yes	characteristic
328	C₄	#3337	1	2	yes	—
329	C₄	Q₈×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
330	C₄	#3383	1	1	yes	characteristic
331	C₂	#20001	1	2	yes	—
332	C₂	#20004	1	2	yes	—
333	C₂	#22654	1	1	yes	characteristic
334	C₂	C₄⋊C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
335	C₂	#22689	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
37. C₈×Q₁₆	C₄	semidirect
157. #106	Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22771	2
#22725	2
Q₈×#106	2
C₂×C₈×Q₁₆	2
#9616	2
#8884	2
#8883	2
#8814	2
#8643	2
C₈×#106	2