Subgroups — #225604

Order 512.

796 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 264 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22705	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₄⋊C₄×D₈	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×C₈×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#9614	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8890	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8816	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8648	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×C₄×D₈	—	2	2	no	—
10	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
12	D₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
13	#1947	C₂²	1	4	yes	—
14	#1942	—	2	2	no	—
15	#1862	—	2	4	no	—
16	#1852	—	2	4	no	—
17	#1845	C₂²	1	2	yes	—
18	#1834	C₂²	1	2	yes	—
19	#1834	C₂²	1	2	yes	—
20	#1808	—	2	2	no	—
21	#1802	C₂²	1	4	yes	—
22	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#340	—	2	2	no	—
25	C₈×D₈	C₄	1	8	yes	complemented
26	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1296	C₂²	1	4	yes	—
31	#1279	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
34	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
35	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
37	C₄×D₈	—	4	8	no	—
38	C₄×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₄×D₈	Q₈	1	4	yes	—
40	C₈×D₄	—	2	4	no	—
41	C₈×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
42	C₂×#107	—	2	2	no	—
43	C₂×#107	—	2	2	no	—
44	C₂×#107	—	2	4	no	—
45	C₂×#107	D₄	1	2	yes	—
46	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×#102	—	2	4	no	—
50	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#389	—	2	4	no	—
57	#385	—	4	4	no	—
58	#384	C₂³	1	4	yes	—
59	#380	—	2	4	no	—
60	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
61	#340	—	2	2	no	—
62	#340	—	2	2	no	—
63	#340	—	2	4	no	—
64	#340	—	2	4	no	—
65	#340	—	4	2	no	—
66	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
67	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
68	#336	—	2	2	no	—
69	#335	—	2	2	no	—
70	#335	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
71	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
72	C₈²	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
73	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
74	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
75	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
76	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
77	C₂×D₈	D₈	1	4	yes	—
78	C₂×D₈	Q₁₆	1	4	yes	—
79	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
80	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
81	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
82	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
83	C₂²×C₈	—	8	4	no	—
84	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₄×D₄	—	2	2	no	—
89	C₄×D₄	—	2	2	no	—
90	C₄×D₄	—	4	8	no	—
91	C₄×D₄	—	8	4	no	—
92	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₄×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
94	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
95	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
96	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
97	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
98	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
105	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
106	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	#107	—	2	4	no	—
108	#107	—	4	4	no	—
109	#107	—	8	4	no	—
110	#107	—	8	2	no	—
111	#107	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
112	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
113	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
114	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
115	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
116	#102	—	4	8	no	—
117	#102	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
118	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
119	C₄×C₈	—	2	1	no	—
120	C₄×C₈	—	4	4	no	—
121	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
125	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
126	#95	—	2	2	no	—
127	#95	—	4	4	no	—
128	C₂⁴	—	2	2	no	—
129	C₂×D₄	—	2	2	no	—
130	C₂×D₄	—	2	2	no	—
131	C₂×D₄	—	2	2	no	—
132	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
133	C₂×D₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
134	C₂×D₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
135	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
141	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
142	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
143	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
144	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
145	C₂²×C₄	—	16	4	no	—
146	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
149	D₈	#107	1	16	yes	complemented
150	C₂×C₈	—	2	2	no	—
151	C₂×C₈	—	2	1	no	—
152	C₂×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂×C₈	—	2	1	no	—
154	C₂×C₈	—	2	4	no	—
155	C₂×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂×C₈	—	4	2	no	—
157	C₂×C₈	—	4	4	no	—
158	C₂×C₈	—	4	2	no	—
159	C₂×C₈	—	4	2	no	—
160	C₂×C₈	—	4	2	no	—
161	C₂×C₈	—	8	8	no	—
162	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
167	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
168	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
173	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
174	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
175	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
176	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
177	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
178	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
179	C₄⋊C₄	#135	1	4	yes	—
180	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
183	C₄²	—	4	2	no	—
184	C₄²	—	4	2	no	—
185	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
187	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
188	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
189	C₂³	—	2	4	no	—
190	C₂³	—	2	4	no	—
191	C₂³	—	2	4	no	—
192	C₂³	—	4	4	no	—
193	C₂³	—	4	4	no	—
194	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
195	D₄	—	2	4	no	—
196	D₄	—	2	4	no	—
197	D₄	—	2	4	no	—
198	D₄	C₂×#107	1	8	yes	—
199	C₂×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂×C₄	—	4	8	no	—
206	C₂×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂×C₄	—	8	4	no	—
212	C₂×C₄	—	8	4	no	—
213	C₂×C₄	—	8	4	no	—
214	C₂×C₄	—	16	16	no	—
215	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
224	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
226	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
227	C₈	—	2	2	no	—
228	C₈	—	2	2	no	—
229	C₈	—	2	2	no	—
230	C₈	—	4	2	no	—
231	C₈	—	4	4	no	—
232	C₈	—	8	2	no	—
233	C₈	C₂×#107	1	4	yes	—
234	C₂²	—	2	8	no	—
235	C₂²	—	4	8	no	—
236	C₂²	—	4	8	no	—
237	C₂²	—	4	4	no	—
238	C₂²	—	4	4	no	—
239	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
241	C₂²	#3280	1	2	yes	—
242	C₂²	D₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
243	C₂²	#3290	1	2	yes	—
244	C₄	—	2	1	no	—
245	C₄	—	2	1	no	—
246	C₄	—	4	4	no	—
247	C₄	—	4	4	no	—
248	C₄	—	8	2	no	—
249	C₄	—	16	4	no	—
250	C₄	C₂²×#107	1	1	yes	characteristic
251	C₄	#2913	1	1	yes	characteristic
252	C₄	C₄×#135	1	1	yes	characteristic
253	C₄	#2948	1	1	yes	characteristic
254	C₄	#3334	1	1	yes	characteristic
255	C₄	#3338	1	1	yes	characteristic
256	C₄	#3380	1	2	yes	—
257	C₂	—	4	8	no	—
258	C₂	#19968	1	2	yes	—
259	C₂	#19993	1	2	yes	—
260	C₂	D₄×#107	1	1	yes	characteristic
261	C₂	#22682	1	1	yes	characteristic
262	C₂	#22690	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₈	D₄
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #22705	C₂	semidirect
4. #9614	C₂	semidirect
5. #8890	C₂	semidirect
6. #8816	C₂	semidirect
7. #8648	C₂	semidirect
8. C₈×#107	C₂	semidirect
25. C₈×D₈	C₄	semidirect
41. C₈×D₄	C₂×C₄	semidirect
70. #335	C₂×C₄	semidirect
71. D₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
72. C₈²	C₂×C₄	semidirect
149. D₈	#107	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22705	2
C₄⋊C₄×D₈	2
C₂×C₈×D₈	2
#9614	2
#8890	2
#8816	2
#8648	2
C₈×#107	2