Subgroups — #225613

Order 512.

630 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 358 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22771	C₂	1	2	yes	maximal
2	#22727	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	Q₈×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×C₈×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#9616	C₂	1	2	yes	maximal
6	#8896	C₂	1	2	yes	maximal
7	#8895	C₂	1	2	yes	maximal
8	#8816	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#8645	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#8645	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₈×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#2355	C₂²	1	2	yes	—
16	Q₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	#1949	—	2	2	no	—
18	#1948	C₂²	1	2	yes	—
19	#1947	—	2	2	no	—
20	#1947	C₂²	1	2	yes	—
21	#1933	—	2	2	no	—
22	#1921	—	2	2	no	—
23	#1878	—	2	2	no	—
24	#1846	—	2	1	no	—
25	#1845	—	2	1	no	—
26	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1834	C₂²	1	2	yes	—
29	#1834	C₂²	1	2	yes	—
30	#1803	C₂²	1	2	yes	—
31	#1803	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×#107	—	2	1	no	—
33	C₄×#107	—	2	1	no	—
34	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
36	C₄×#103	—	2	2	no	—
37	C₈×Q₁₆	C₄	1	8	yes	complemented
38	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1296	C₂²	1	2	yes	—
44	#1296	C₂²	1	2	yes	—
45	#1279	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
51	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
52	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₄×Q₁₆	Q₈	1	4	yes	—
56	C₂×#107	—	2	1	no	—
57	C₂×#107	—	2	1	no	—
58	C₂×#107	—	2	1	no	—
59	C₂×#107	—	2	1	no	—
60	C₂×#107	—	2	2	no	—
61	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#106	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#103	—	2	2	no	—
71	C₂×#103	—	2	2	no	—
72	C₂×#103	D₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×#103	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#391	—	2	2	no	—
81	#389	—	2	2	no	—
82	#389	—	4	2	no	—
83	#387	—	4	2	no	—
84	#384	—	2	2	no	—
85	#384	C₂³	1	2	yes	—
86	#384	C₂³	1	2	yes	—
87	#382	—	2	2	no	—
88	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
89	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
91	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	#340	—	2	2	no	—
93	#340	—	2	2	no	—
94	#340	—	2	2	no	—
95	#340	—	2	2	no	—
96	#340	—	2	2	no	—
97	#340	—	2	2	no	—
98	#340	—	4	2	no	—
99	#340	D₄	1	2	yes	—
100	#336	—	2	2	no	—
101	#335	—	2	2	no	—
102	#335	C₂×C₄	1	4	yes	—
103	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
104	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
105	C₈²	C₂×C₄	1	4	yes	—
106	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×Q₁₆	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
111	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
120	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
121	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
122	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
123	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
124	C₄×Q₈	—	8	2	no	—
125	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₄×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
128	C₄×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
147	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	#107	—	2	2	no	—
150	#107	—	4	2	no	—
151	#107	—	4	2	no	—
152	#107	—	8	2	no	—
153	#107	—	8	1	no	—
154	#107	—	8	1	no	—
155	#107	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
156	#107	Q₁₆	1	4	yes	complemented
157	#106	—	8	2	no	—
158	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
159	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
160	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
161	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
162	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
164	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
165	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
166	#103	—	4	4	no	—
167	#103	—	8	2	no	—
168	#103	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
169	#103	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
170	C₄×C₈	—	2	4	no	—
171	C₄×C₈	—	2	4	no	—
172	C₄×C₈	—	2	1	no	—
173	C₄×C₈	—	8	2	no	—
174	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
175	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
176	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
177	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
178	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
179	#95	—	2	2	no	—
180	#95	—	4	2	no	—
181	#95	—	4	2	no	—
182	#95	—	4	2	no	—
183	#95	—	4	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
188	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
189	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
192	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
193	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
194	C₂×Q₈	#135	1	2	yes	—
195	C₂×Q₈	#135	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
207	Q₁₆	—	2	8	no	—
208	C₂×C₈	—	2	1	no	—
209	C₂×C₈	—	2	1	no	—
210	C₂×C₈	—	2	1	no	—
211	C₂×C₈	—	2	1	no	—
212	C₂×C₈	—	2	1	no	—
213	C₂×C₈	—	2	1	no	—
214	C₂×C₈	—	2	2	no	—
215	C₂×C₈	—	2	2	no	—
216	C₂×C₈	—	2	2	no	—
217	C₂×C₈	—	4	1	no	—
218	C₂×C₈	—	4	1	no	—
219	C₂×C₈	—	4	1	no	—
220	C₂×C₈	—	4	1	no	—
221	C₂×C₈	—	4	1	no	—
222	C₂×C₈	—	4	1	no	—
223	C₂×C₈	—	4	2	no	—
224	C₂×C₈	—	4	2	no	—
225	C₂×C₈	—	4	2	no	—
226	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
227	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
228	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
229	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
230	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
231	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
232	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
253	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
254	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
255	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
256	C₄²	—	2	2	no	—
257	C₄²	—	2	2	no	—
258	C₄²	—	2	2	no	—
259	C₄²	—	2	2	no	—
260	C₄²	—	4	2	no	—
261	C₄²	—	4	2	no	—
262	C₄²	—	8	4	no	—
263	C₄²	—	16	2	no	—
264	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
265	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
266	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
267	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
268	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
269	Q₈	—	2	2	no	—
270	Q₈	—	2	2	no	—
271	Q₈	—	2	2	no	—
272	Q₈	—	2	2	no	—
273	Q₈	—	2	2	no	—
274	Q₈	—	4	1	no	—
275	Q₈	—	4	1	no	—
276	Q₈	#427	1	4	yes	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	1	no	—
288	C₂×C₄	—	4	1	no	—
289	C₂×C₄	—	4	1	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	1	no	—
292	C₂×C₄	—	4	1	no	—
293	C₂×C₄	—	4	1	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	8	2	no	—
298	C₂×C₄	—	8	2	no	—
299	C₂×C₄	—	8	2	no	—
300	C₂×C₄	—	8	2	no	—
301	C₂×C₄	—	8	2	no	—
302	C₂×C₄	—	8	2	no	—
303	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
317	C₈	—	2	2	no	—
318	C₈	—	2	2	no	—
319	C₈	—	2	2	no	—
320	C₈	—	4	2	no	—
321	C₈	—	4	2	no	—
322	C₈	—	4	2	no	—
323	C₈	—	8	2	no	—
324	C₈	C₄×Q₁₆	1	4	yes	—
325	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	#3280	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	#3285	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	D₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	#3287	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	#3290	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	#3290	1	1	yes	characteristic
332	C₄	—	2	4	no	—
333	C₄	—	2	1	no	—
334	C₄	—	2	1	no	—
335	C₄	—	4	4	no	—
336	C₄	—	4	2	no	—
337	C₄	—	4	2	no	—
338	C₄	—	4	2	no	—
339	C₄	—	8	2	no	—
340	C₄	—	16	2	no	—
341	C₄	—	16	2	no	—
342	C₄	C₂×#427	1	1	yes	characteristic
343	C₄	#2913	1	1	yes	characteristic
344	C₄	C₂×C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
345	C₄	#2951	1	1	yes	characteristic
346	C₄	#3336	1	1	yes	characteristic
347	C₄	#3339	1	1	yes	characteristic
348	C₄	Q₈×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
349	C₄	#3383	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#19993	1	1	yes	characteristic
351	C₂	#19995	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#20008	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#20015	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#22656	1	1	yes	characteristic
355	C₂	C₄⋊C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#22691	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
37. C₈×Q₁₆	C₄	semidirect
156. #107	Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22771	2
#22727	2
Q₈×#107	2
C₂×C₈×Q₁₆	2
#9616	2
#8896	2
#8895	2
#8816	2
#8645	2
C₈×#107	2