Subgroups — #225624

Order 512.

696 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 258 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22807	C₂	1	2	yes	maximal
2	#22708	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×C₈×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#9615	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8893	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8816	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8648	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
11	#2354	C₂²	1	4	yes	—
12	#1970	—	2	2	no	—
13	#1948	C₂²	1	4	yes	—
14	#1925	—	2	4	no	—
15	#1854	—	2	4	no	—
16	#1845	C₂²	1	2	yes	—
17	#1834	C₂²	1	2	yes	—
18	#1834	C₂²	1	2	yes	—
19	#1807	—	2	2	no	—
20	#1802	C₂²	1	4	yes	—
21	C₄×#107	—	2	2	no	—
22	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	#1735	—	2	2	no	—
25	C₈×D₈	C₄	1	8	yes	complemented
26	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1296	C₂²	1	4	yes	—
31	#1279	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
34	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂×#117	—	2	4	no	—
36	C₄×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₄×D₈	Q₈	1	4	yes	—
38	C₈×D₄	—	2	4	no	—
39	C₈×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	C₂×#107	—	2	2	no	—
41	C₂×#107	—	2	2	no	—
42	C₂×#107	D₄	1	2	yes	—
43	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×#106	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×#102	—	2	4	no	—
48	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
49	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#390	—	2	4	no	—
55	#388	—	4	4	no	—
56	#384	C₂³	1	4	yes	—
57	#380	—	2	4	no	—
58	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
59	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
60	#340	—	2	2	no	—
61	#340	—	2	2	no	—
62	#340	—	2	4	no	—
63	#340	—	2	4	no	—
64	#340	—	4	2	no	—
65	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
66	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
67	#336	—	2	2	no	—
68	#335	—	2	2	no	—
69	#335	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
71	C₈²	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
73	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
74	C₂×D₈	—	2	2	no	—
75	C₂×D₈	—	2	2	no	—
76	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
77	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
79	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
80	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
81	C₂²×C₈	—	8	4	no	—
82	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₄×D₄	—	2	2	no	—
87	C₄×D₄	—	2	2	no	—
88	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
89	C₄×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
90	#117	—	4	8	no	—
91	#117	—	8	4	no	—
92	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
93	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
94	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
101	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
102	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
103	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
104	#107	—	2	4	no	—
105	#107	—	4	4	no	—
106	#107	—	8	2	no	—
107	#107	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
108	#106	—	8	4	no	—
109	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
110	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
111	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
112	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
113	#102	—	8	4	no	—
114	#102	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
115	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
116	C₄×C₈	—	2	1	no	—
117	C₄×C₈	—	4	4	no	—
118	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
122	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
123	#95	—	2	2	no	—
124	#95	—	4	4	no	—
125	C₂⁴	—	2	2	no	—
126	C₂×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂×D₄	—	2	2	no	—
129	C₂×D₄	—	2	2	no	—
130	C₂×D₄	—	2	2	no	—
131	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
132	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
138	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
139	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
140	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
143	D₈	—	2	8	no	—
144	C₂×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂×C₈	—	2	1	no	—
146	C₂×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂×C₈	—	2	1	no	—
148	C₂×C₈	—	2	4	no	—
149	C₂×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂×C₈	—	4	2	no	—
151	C₂×C₈	—	4	4	no	—
152	C₂×C₈	—	4	2	no	—
153	C₂×C₈	—	4	2	no	—
154	C₂×C₈	—	4	2	no	—
155	C₂×C₈	—	8	8	no	—
156	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
161	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
162	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
167	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
168	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
169	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
170	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
171	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
172	C₄⋊C₄	#135	1	4	yes	—
173	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
176	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
177	C₄²	—	4	2	no	—
178	C₄²	—	4	2	no	—
179	C₄²	—	8	8	no	—
180	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
182	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
183	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
184	C₂³	—	2	4	no	—
185	C₂³	—	4	4	no	—
186	C₂³	—	4	2	no	—
187	C₂³	—	4	2	no	—
188	C₂³	—	4	4	no	—
189	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
190	D₄	—	2	4	no	—
191	D₄	—	2	4	no	—
192	D₄	—	4	2	no	—
193	D₄	—	4	2	no	—
194	C₂×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄	—	4	4	no	—
198	C₂×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂×C₄	—	4	8	no	—
201	C₂×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂×C₄	—	8	4	no	—
207	C₂×C₄	—	8	4	no	—
208	C₂×C₄	—	8	4	no	—
209	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
218	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
220	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
221	C₈	—	2	2	no	—
222	C₈	—	2	2	no	—
223	C₈	—	2	2	no	—
224	C₈	—	4	2	no	—
225	C₈	—	4	4	no	—
226	C₈	—	8	2	no	—
227	C₈	#427	1	4	yes	—
228	C₂²	—	4	4	no	—
229	C₂²	—	4	4	no	—
230	C₂²	—	4	4	no	—
231	C₂²	—	8	4	no	—
232	C₂²	—	8	4	no	—
233	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²	#3280	1	2	yes	—
235	C₂²	#3283	1	1	yes	characteristic
236	C₂²	#3287	1	1	yes	characteristic
237	C₂²	#3290	1	2	yes	—
238	C₄	—	2	1	no	—
239	C₄	—	2	1	no	—
240	C₄	—	4	4	no	—
241	C₄	—	4	4	no	—
242	C₄	—	8	2	no	—
243	C₄	—	16	4	no	—
244	C₄	C₂×#427	1	1	yes	characteristic
245	C₄	#2913	1	1	yes	characteristic
246	C₄	C₄×#135	1	1	yes	characteristic
247	C₄	#2948	1	1	yes	characteristic
248	C₄	#3341	1	1	yes	characteristic
249	C₄	#3342	1	1	yes	characteristic
250	C₄	#3380	1	2	yes	—
251	C₂	—	8	4	no	—
252	C₂	#19989	1	2	yes	—
253	C₂	#19995	1	2	yes	—
254	C₂	#22658	1	1	yes	characteristic
255	C₂	#22682	1	1	yes	characteristic
256	C₂	#22690	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₈	D₄
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22708	C₂	semidirect
4. #9615	C₂	semidirect
5. #8893	C₂	semidirect
6. #8816	C₂	semidirect
7. #8648	C₂	semidirect
8. C₈×#107	C₂	semidirect
25. C₈×D₈	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22807	2
#22708	2
C₂×C₈×D₈	2
#9615	2
#8893	2
#8816	2
#8648	2
C₈×#107	2