Subgroups — #225694

Order 512.

622 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 299 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22771	C₂	1	2	yes	maximal
2	#22729	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1591	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#9616	C₂	1	2	yes	maximal
5	#8884	C₂	1	2	yes	maximal
6	#8883	C₂	1	2	yes	maximal
7	#8814	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#8651	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₈×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#446	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2355	C₂²	1	2	yes	—
13	Q₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
14	#1949	—	2	2	no	—
15	#1948	—	2	2	no	—
16	#1948	C₂²	1	2	yes	—
17	#1947	C₂²	1	2	yes	—
18	#1933	—	2	2	no	—
19	#1921	—	2	2	no	—
20	#1878	—	2	2	no	—
21	#1847	—	2	2	no	—
22	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1844	C₂²	1	2	yes	—
25	#1834	C₂²	1	2	yes	—
26	#1803	C₂²	1	2	yes	—
27	#1803	C₂²	1	2	yes	—
28	#1776	—	2	2	no	—
29	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×#103	—	2	2	no	—
32	#1591	C₄	1	8	yes	complemented
33	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1296	C₂²	1	2	yes	—
38	#1296	C₂²	1	2	yes	—
39	#1279	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
43	#446	—	2	4	no	—
44	#446	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₄×Q₁₆	Q₈	1	4	yes	—
47	C₂×#107	—	2	2	no	—
48	C₂×#107	—	4	1	no	—
49	C₂×#107	—	4	1	no	—
50	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#106	—	2	2	no	—
54	C₂×#106	—	2	2	no	—
55	C₂×#106	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#103	—	2	2	no	—
60	C₂×#103	—	2	2	no	—
61	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
62	C₂×#97	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#391	—	2	2	no	—
68	#389	—	2	2	no	—
69	#389	—	4	2	no	—
70	#387	—	4	2	no	—
71	#384	—	2	2	no	—
72	#384	C₂³	1	2	yes	—
73	#384	C₂³	1	2	yes	—
74	#382	—	2	2	no	—
75	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
77	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
79	#340	—	2	2	no	—
80	#340	—	2	2	no	—
81	#340	—	2	2	no	—
82	#340	—	2	2	no	—
83	#340	—	2	2	no	—
84	#340	—	2	2	no	—
85	#340	D₄	1	2	yes	—
86	#336	—	2	2	no	—
87	#335	—	2	2	no	—
88	#335	C₂×C₄	1	4	yes	—
89	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
90	C₈²	C₂×C₄	1	4	yes	—
91	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
92	C₂×Q₁₆	—	4	1	no	—
93	C₂×Q₁₆	—	4	1	no	—
94	C₂×Q₁₆	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
95	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
98	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
103	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
104	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
105	C₄×Q₈	—	8	2	no	—
106	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
107	C₄×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
123	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
124	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	#107	—	2	2	no	—
126	#107	—	8	2	no	—
127	#107	—	8	2	no	—
128	#107	—	8	2	no	—
129	#107	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
130	#107	Q₁₆	1	4	yes	complemented
131	#106	—	4	4	no	—
132	#106	—	8	2	no	—
133	#106	—	8	2	no	—
134	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
135	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
136	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
137	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
138	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
139	#103	—	4	4	no	—
140	#103	—	8	2	no	—
141	#103	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
142	#97	—	2	8	no	—
143	C₄×C₈	—	2	1	no	—
144	C₄×C₈	—	8	2	no	—
145	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
149	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
150	#95	—	2	2	no	—
151	#95	—	4	2	no	—
152	#95	—	4	2	no	—
153	#95	—	4	2	no	—
154	#95	—	4	2	no	—
155	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
156	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
157	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
158	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
159	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
160	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
161	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
167	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
170	Q₁₆	—	4	4	no	—
171	C₂×C₈	—	2	2	no	—
172	C₂×C₈	—	2	2	no	—
173	C₂×C₈	—	2	2	no	—
174	C₂×C₈	—	2	1	no	—
175	C₂×C₈	—	2	1	no	—
176	C₂×C₈	—	2	1	no	—
177	C₂×C₈	—	2	1	no	—
178	C₂×C₈	—	2	1	no	—
179	C₂×C₈	—	2	1	no	—
180	C₂×C₈	—	2	4	no	—
181	C₂×C₈	—	4	2	no	—
182	C₂×C₈	—	4	2	no	—
183	C₂×C₈	—	4	2	no	—
184	C₂×C₈	—	4	2	no	—
185	C₂×C₈	—	4	2	no	—
186	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
191	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
192	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
199	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
200	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
201	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
202	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
203	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
204	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
205	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
206	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
207	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
208	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
209	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
210	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
211	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
212	C₄²	—	2	4	no	—
213	C₄²	—	2	4	no	—
214	C₄²	—	4	2	no	—
215	C₄²	—	4	2	no	—
216	C₄²	—	8	4	no	—
217	C₄²	—	16	2	no	—
218	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
219	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
220	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
221	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
222	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
223	Q₈	—	2	4	no	—
224	Q₈	—	2	4	no	—
225	Q₈	—	4	2	no	—
226	Q₈	—	4	2	no	—
227	C₂×C₄	—	2	1	no	—
228	C₂×C₄	—	2	1	no	—
229	C₂×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂×C₄	—	4	2	no	—
233	C₂×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂×C₄	—	8	2	no	—
242	C₂×C₄	—	8	2	no	—
243	C₂×C₄	—	8	2	no	—
244	C₂×C₄	—	8	2	no	—
245	C₂×C₄	—	8	2	no	—
246	C₂×C₄	—	8	2	no	—
247	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₄	#575	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄	#575	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
261	C₈	—	2	4	no	—
262	C₈	—	2	2	no	—
263	C₈	—	2	2	no	—
264	C₈	—	2	2	no	—
265	C₈	—	4	4	no	—
266	C₈	—	8	2	no	—
267	C₈	C₄×Q₁₆	1	4	yes	—
268	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂²	#3273	1	1	yes	characteristic
270	C₂²	#3277	1	1	yes	characteristic
271	C₂²	D₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
272	C₂²	#3287	1	1	yes	characteristic
273	C₂²	#3291	1	1	yes	characteristic
274	C₂²	#3291	1	1	yes	characteristic
275	C₄	—	2	1	no	—
276	C₄	—	2	1	no	—
277	C₄	—	4	4	no	—
278	C₄	—	4	4	no	—
279	C₄	—	4	4	no	—
280	C₄	—	8	2	no	—
281	C₄	—	16	2	no	—
282	C₄	—	16	2	no	—
283	C₄	#2911	1	1	yes	characteristic
284	C₄	#2913	1	1	yes	characteristic
285	C₄	C₂×C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
286	C₄	#2951	1	1	yes	characteristic
287	C₄	#3352	1	1	yes	characteristic
288	C₄	#3355	1	1	yes	characteristic
289	C₄	Q₈×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
290	C₄	#3383	1	1	yes	characteristic
291	C₂	#19927	1	1	yes	characteristic
292	C₂	#19931	1	1	yes	characteristic
293	C₂	#19961	1	1	yes	characteristic
294	C₂	#19965	1	1	yes	characteristic
295	C₂	#22664	1	1	yes	characteristic
296	C₂	C₄⋊C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
297	C₂	#22689	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
32. #1591	C₄	semidirect
130. #107	Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22771	2
#22729	2
C₂×#1591	2
#9616	2
#8884	2
#8883	2
#8814	2
#8651	2
C₈×#107	2