Subgroups — #225704

Order 512.

710 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 312 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22766	C₂	1	2	yes	maximal
2	#22715	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1589	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#9616	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8889	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8886	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8815	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#8656	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₈×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
12	#2354	C₂²	1	2	yes	—
13	D₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
14	#1948	C₂²	1	2	yes	—
15	#1947	C₂²	1	2	yes	—
16	#1934	—	2	2	no	—
17	#1918	—	2	2	no	—
18	#1879	—	2	2	no	—
19	#1854	—	2	2	no	—
20	#1853	—	2	2	no	—
21	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1834	C₂²	1	2	yes	—
24	#1834	C₂²	1	2	yes	—
25	#1809	—	2	2	no	—
26	#1802	C₂²	1	2	yes	—
27	#1802	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×#102	—	2	2	no	—
31	#1736	—	2	2	no	—
32	#1589	C₄	1	8	yes	complemented
33	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1296	C₂²	1	2	yes	—
38	#1296	C₂²	1	2	yes	—
39	#1279	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×#117	—	2	2	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
46	C₄×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₄×D₈	Q₈	1	4	yes	—
48	#436	—	2	4	no	—
49	#436	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
50	C₂×#107	—	2	2	no	—
51	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#106	—	2	2	no	—
53	C₂×#106	—	4	1	no	—
54	C₂×#106	—	4	1	no	—
55	C₂×#106	D₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×#102	—	2	2	no	—
59	C₂×#102	—	2	2	no	—
60	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#390	—	2	2	no	—
67	#389	—	2	2	no	—
68	#388	—	4	2	no	—
69	#385	—	4	2	no	—
70	#384	C₂³	1	2	yes	—
71	#384	C₂³	1	2	yes	—
72	#380	—	2	2	no	—
73	#380	—	2	2	no	—
74	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
76	#340	—	2	2	no	—
77	#340	—	2	2	no	—
78	#340	—	2	2	no	—
79	#340	—	2	2	no	—
80	#340	—	2	2	no	—
81	#340	—	2	2	no	—
82	#340	—	2	2	no	—
83	#340	—	2	2	no	—
84	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
85	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
86	#336	—	2	2	no	—
87	#335	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
88	#334	—	2	2	no	—
89	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
90	C₈²	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
91	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
94	C₂×D₈	—	4	2	no	—
95	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
96	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
97	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
98	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₄×D₄	—	2	2	no	—
107	C₄×D₄	—	2	2	no	—
108	C₄×D₄	—	4	4	no	—
109	C₄×D₄	—	8	2	no	—
110	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
111	C₄×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
112	#117	—	4	4	no	—
113	#117	—	8	2	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
132	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	#107	—	8	2	no	—
134	#107	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
135	#106	—	2	4	no	—
136	#106	—	8	2	no	—
137	#106	—	8	2	no	—
138	#106	—	8	2	no	—
139	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
140	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
141	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
142	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
143	#102	—	4	4	no	—
144	#102	—	8	2	no	—
145	#102	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
146	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
147	C₄×C₈	—	2	1	no	—
148	C₄×C₈	—	8	2	no	—
149	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
153	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
154	#95	—	2	2	no	—
155	#95	—	4	2	no	—
156	#95	—	4	2	no	—
157	C₂⁴	—	2	2	no	—
158	C₂×D₄	—	2	2	no	—
159	C₂×D₄	—	2	2	no	—
160	C₂×D₄	—	2	2	no	—
161	C₂×D₄	—	2	2	no	—
162	C₂×D₄	—	2	2	no	—
163	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
178	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
181	D₈	—	4	4	no	—
182	M₁₆	—	8	8	no	—
183	C₂×C₈	—	2	2	no	—
184	C₂×C₈	—	2	2	no	—
185	C₂×C₈	—	2	2	no	—
186	C₂×C₈	—	2	2	no	—
187	C₂×C₈	—	2	2	no	—
188	C₂×C₈	—	2	2	no	—
189	C₂×C₈	—	2	2	no	—
190	C₂×C₈	—	2	4	no	—
191	C₂×C₈	—	4	2	no	—
192	C₂×C₈	—	4	2	no	—
193	C₂×C₈	—	4	2	no	—
194	C₂×C₈	—	4	2	no	—
195	C₂×C₈	—	4	2	no	—
196	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
199	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
200	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
201	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
203	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
204	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
205	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
206	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
207	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
208	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
209	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
210	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
211	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
212	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
213	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
214	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
215	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
216	C₄⋊C₄	#135	1	4	yes	—
217	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
222	C₄²	—	4	2	no	—
223	C₄²	—	4	2	no	—
224	C₄²	—	8	4	no	—
225	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
226	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
227	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
228	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
229	C₂³	—	2	4	no	—
230	C₂³	—	4	2	no	—
231	C₂³	—	4	2	no	—
232	C₂³	—	4	2	no	—
233	C₂³	—	4	2	no	—
234	C₂³	—	4	2	no	—
235	C₂³	—	4	2	no	—
236	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
237	D₄	—	2	4	no	—
238	D₄	—	2	4	no	—
239	D₄	—	4	2	no	—
240	D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	1	no	—
242	C₂×C₄	—	2	1	no	—
243	C₂×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂×C₄	—	4	4	no	—
251	C₂×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂×C₄	—	4	4	no	—
253	C₂×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂×C₄	—	8	2	no	—
257	C₂×C₄	—	8	2	no	—
258	C₂×C₄	—	8	2	no	—
259	C₂×C₄	—	8	2	no	—
260	C₂×C₄	—	8	2	no	—
261	C₂×C₄	—	8	2	no	—
262	C₂×C₄	—	16	8	no	—
263	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
270	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
273	C₈	—	2	4	no	—
274	C₈	—	2	2	no	—
275	C₈	—	2	2	no	—
276	C₈	—	2	2	no	—
277	C₈	—	2	2	no	—
278	C₈	—	4	4	no	—
279	C₈	—	8	2	no	—
280	C₂²	—	4	4	no	—
281	C₂²	—	4	4	no	—
282	C₂²	—	4	4	no	—
283	C₂²	—	8	2	no	—
284	C₂²	—	8	2	no	—
285	C₂²	—	8	2	no	—
286	C₂²	—	8	2	no	—
287	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂²	#3275	1	2	yes	—
289	C₂²	#3280	1	2	yes	—
290	C₂²	#3291	1	1	yes	characteristic
291	C₂²	#3291	1	1	yes	characteristic
292	C₄	—	2	1	no	—
293	C₄	—	2	1	no	—
294	C₄	—	4	4	no	—
295	C₄	—	4	4	no	—
296	C₄	—	8	2	no	—
297	C₄	—	16	2	no	—
298	C₄	—	16	2	no	—
299	C₄	#2911	1	1	yes	characteristic
300	C₄	#2912	1	1	yes	characteristic
301	C₄	C₄×#135	1	1	yes	characteristic
302	C₄	#2948	1	1	yes	characteristic
303	C₄	#3351	1	2	yes	—
304	C₄	#3380	1	2	yes	—
305	C₂	—	8	4	no	—
306	C₂	#19901	1	2	yes	—
307	C₂	#19904	1	2	yes	—
308	C₂	#22666	1	1	yes	characteristic
309	C₂	#22682	1	1	yes	characteristic
310	C₂	#22689	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₈	D₄
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22715	C₂	semidirect
4. #9616	C₂	semidirect
5. #8889	C₂	semidirect
6. #8886	C₂	semidirect
7. #8815	C₂	semidirect
8. #8656	C₂	semidirect
9. C₈×#106	C₂	semidirect
32. #1589	C₄	semidirect
49. #436	C₂×C₄	semidirect
87. #335	C₂×C₄	semidirect
89. D₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
90. C₈²	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22766	2
#22715	2
C₂×#1589	2
#9616	2
#8889	2
#8886	2
#8815	2
#8656	2
C₈×#106	2