Subgroups — #225720

Order 512.

639 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 295 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22688	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₈×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#17826	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9628	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8904	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8822	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8666	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₈×#41	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#443	—	2	2	no	—
11	C₄×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2906	C₂²	1	4	yes	—
13	#1945	—	2	2	no	—
14	#1866	—	2	4	no	—
15	#1848	C₂²	1	2	yes	—
16	#1806	C₂²	1	4	yes	—
17	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₈×Q₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
20	C₈×Q₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
21	C₈×SD₁₆	C₄	1	2	yes	complemented
22	C₈×SD₁₆	C₄	1	2	yes	complemented
23	C₈×D₈	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
24	C₈×D₈	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
25	#1570	—	2	4	no	—
26	#1570	C₂²	1	4	yes	—
27	#1566	—	2	2	no	—
28	#1566	C₂²	1	2	yes	—
29	#1566	C₂²	1	2	yes	—
30	#1564	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#334	—	2	2	no	—
32	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1476	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1303	C₂²	1	4	yes	—
36	#1279	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#135	D₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#131	—	2	4	no	—
39	C₄×#41	C₂³	1	2	yes	—
40	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	#443	—	4	8	no	—
43	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₄×Q₁₆	Q₈	1	1	yes	characteristic
45	C₄×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₄×SD₁₆	Q₈	1	2	yes	—
47	C₄×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₄×D₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
49	C₈×D₄	—	2	2	no	—
50	C₈×D₄	—	2	2	no	—
51	C₈×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₈×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	#431	—	2	2	no	—
54	#431	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#108	—	2	2	no	—
56	C₂×#108	—	2	2	no	—
57	#427	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#106	—	2	1	no	—
59	#424	—	2	4	no	—
60	#424	—	4	4	no	—
61	#423	—	2	4	no	—
62	#423	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#104	—	2	4	no	—
66	#416	D₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
73	#340	—	2	1	no	—
74	#339	—	2	4	no	—
75	#336	—	2	2	no	—
76	#335	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	#335	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	#334	—	2	4	no	—
79	#334	—	2	4	no	—
80	#334	—	2	2	no	—
81	#334	—	2	2	no	—
82	#334	—	4	2	no	—
83	#334	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	#334	D₄	1	1	yes	characteristic
85	#334	D₄	1	1	yes	characteristic
86	#334	D₄	1	2	yes	—
87	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	C₈²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₈²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₈²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₈²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	#135	SD₁₆	1	8	yes	—
97	C₂×Q₁₆	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×SD₁₆	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
99	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
100	#131	—	4	8	no	—
101	#131	—	8	4	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
103	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
109	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
113	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₄×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
115	C₄×D₄	—	2	2	no	—
116	C₄×D₄	—	2	2	no	—
117	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₄×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
119	#117	—	2	2	no	—
120	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	#108	—	4	4	no	—
126	#108	—	8	2	no	—
127	#107	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
128	#107	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
129	#106	—	2	4	no	—
130	#106	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
131	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
132	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
133	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
134	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
135	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
136	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
137	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
138	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
139	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	#104	—	4	8	no	—
143	#103	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
144	#103	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
145	#102	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
146	#102	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
147	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
149	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
150	C₄×C₈	—	2	2	no	—
151	C₄×C₈	—	2	2	no	—
152	C₄×C₈	—	2	2	no	—
153	C₄×C₈	—	2	1	no	—
154	C₄×C₈	—	4	4	no	—
155	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
164	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
165	#95	—	2	2	no	—
166	#41	—	2	4	no	—
167	#41	C₂×SD₁₆	1	8	yes	—
168	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
169	C₂×D₄	—	2	2	no	—
170	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
175	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
178	Q₁₆	#106	1	4	yes	complemented
179	SD₁₆	#106	1	8	yes	complemented
180	D₈	#106	1	4	yes	complemented
181	M₁₆	—	4	4	no	—
182	M₁₆	—	4	4	no	—
183	M₁₆	—	8	8	no	—
184	C₂×C₈	—	2	1	no	—
185	C₂×C₈	—	2	2	no	—
186	C₂×C₈	—	2	2	no	—
187	C₂×C₈	—	2	2	no	—
188	C₂×C₈	—	2	2	no	—
189	C₂×C₈	—	2	1	no	—
190	C₂×C₈	—	2	2	no	—
191	C₂×C₈	—	2	2	no	—
192	C₂×C₈	—	4	1	no	—
193	C₂×C₈	—	4	2	no	—
194	C₂×C₈	—	4	2	no	—
195	C₂×C₈	—	4	2	no	—
196	C₂×C₈	—	4	4	no	—
197	C₂×C₈	—	4	4	no	—
198	C₂×C₈	—	8	2	no	—
199	C₂×C₈	—	8	8	no	—
200	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
209	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
213	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
214	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
215	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
218	C₄²	—	2	2	no	—
219	C₄²	—	2	2	no	—
220	C₄²	—	2	2	no	—
221	C₄²	—	4	2	no	—
222	C₄²	—	4	2	no	—
223	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
226	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
227	C₂³	—	2	2	no	—
228	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
229	Q₈	—	2	2	no	—
230	Q₈	C₂×#106	1	4	yes	—
231	D₄	—	2	8	no	—
232	D₄	—	2	2	no	—
233	D₄	C₂×#106	1	4	yes	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂×C₄	—	2	8	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	4	1	no	—
241	C₂×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂×C₄	—	4	4	no	—
244	C₂×C₄	—	8	2	no	—
245	C₂×C₄	—	8	2	no	—
246	C₂×C₄	—	8	2	no	—
247	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
254	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
255	C₈	—	2	2	no	—
256	C₈	—	2	1	no	—
257	C₈	—	2	1	no	—
258	C₈	—	2	1	no	—
259	C₈	—	2	1	no	—
260	C₈	—	2	1	no	—
261	C₈	—	4	1	no	—
262	C₈	—	4	2	no	—
263	C₈	—	4	2	no	—
264	C₈	—	4	2	no	—
265	C₈	—	4	2	no	—
266	C₈	—	8	4	no	—
267	C₈	C₂×#106	1	2	yes	—
268	C₈	C₂×#106	1	2	yes	—
269	C₈	#443	1	2	yes	complemented
270	C₂²	—	2	1	no	—
271	C₂²	—	2	1	no	—
272	C₂²	—	2	4	no	—
273	C₂²	—	4	2	no	—
274	C₂²	—	4	2	no	—
275	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂²	#3335	1	2	yes	—
277	C₄	—	2	4	no	—
278	C₄	—	2	1	no	—
279	C₄	—	2	1	no	—
280	C₄	—	2	1	no	—
281	C₄	—	4	2	no	—
282	C₄	—	4	2	no	—
283	C₄	—	8	4	no	—
284	C₄	C₂²×#106	1	1	yes	characteristic
285	C₄	#2912	1	1	yes	characteristic
286	C₄	C₂×#443	1	1	yes	characteristic
287	C₄	#2957	1	1	yes	characteristic
288	C₄	D₄×SD₁₆	1	2	yes	—
289	C₂	—	2	2	no	—
290	C₂	—	4	4	no	—
291	C₂	D₄×#106	1	1	yes	characteristic
292	C₂	#22688	1	1	yes	characteristic
293	C₂	#22694	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	D₄×C₄⋊C₄
prime radical	C₂×#135	D₄
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #17826	C₂	semidirect
4. #9628	C₂	semidirect
5. #8904	C₂	semidirect
6. #8822	C₂	semidirect
7. #8666	C₂	semidirect
8. C₈×#106	C₂	semidirect
19. C₈×Q₁₆	C₄	semidirect
20. C₈×Q₁₆	C₄	semidirect
21. C₈×SD₁₆	C₄	semidirect
22. C₈×SD₁₆	C₄	semidirect
23. C₈×D₈	C₄	semidirect
24. C₈×D₈	C₄	semidirect
178. Q₁₆	#106	semidirect
179. SD₁₆	#106	semidirect
180. D₈	#106	semidirect
269. C₈	#443	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22688	2
C₈×#135	2
#17826	2
#9628	2
#8904	2
#8822	2
#8666	2
C₈×#106	2