Subgroups — #225725

Order 512.

565 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 302 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22802	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₈×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#17829	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9628	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8903	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8823	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8667	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₈×#41	C₂²	1	2	yes	—
10	C₄×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#2925	C₂²	1	4	yes	—
12	#1974	—	2	2	no	—
13	#1929	—	2	4	no	—
14	#1848	C₂²	1	2	yes	—
15	#1806	C₂²	1	4	yes	—
16	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#1772	—	2	2	no	—
18	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₈×Q₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
20	C₈×Q₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
21	C₈×SD₁₆	C₄	1	2	yes	complemented
22	C₈×SD₁₆	C₄	1	2	yes	complemented
23	C₈×D₈	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
24	C₈×D₈	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
25	#1572	—	2	4	no	—
26	#1570	C₂²	1	4	yes	—
27	#1568	—	2	2	no	—
28	#1567	C₂²	1	2	yes	—
29	#1567	C₂²	1	2	yes	—
30	#1564	—	2	2	no	—
31	#1564	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1476	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1303	C₂²	1	4	yes	—
36	#1279	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#135	D₄	1	1	yes	characteristic
38	C₄×#41	C₂³	1	2	yes	—
39	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₄×Q₁₆	Q₈	1	1	yes	characteristic
43	C₄×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₄×SD₁₆	Q₈	1	2	yes	—
45	C₄×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₄×D₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
47	C₈×D₄	—	2	2	no	—
48	C₈×D₄	—	2	2	no	—
49	C₈×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₈×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	#433	—	4	4	no	—
52	#432	—	2	4	no	—
53	#431	—	2	2	no	—
54	#431	—	2	4	no	—
55	#431	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#108	—	2	2	no	—
57	C₂×#108	—	2	2	no	—
58	#427	D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#107	—	2	1	no	—
60	#423	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#104	—	2	4	no	—
63	#416	D₄	1	2	yes	—
64	#408	—	2	4	no	—
65	#405	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
72	#340	—	2	1	no	—
73	#339	—	2	4	no	—
74	#336	—	2	2	no	—
75	#335	—	2	2	no	—
76	#335	—	2	2	no	—
77	#335	—	4	2	no	—
78	#335	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
79	#335	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	#335	D₄	1	1	yes	characteristic
81	#335	D₄	1	1	yes	characteristic
82	#335	D₄	1	2	yes	—
83	#334	—	2	4	no	—
84	#334	—	2	4	no	—
85	#334	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	C₈²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₈²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₈²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₈²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
95	#135	—	2	2	no	—
96	#135	—	2	2	no	—
97	C₂×Q₁₆	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×SD₁₆	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
99	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
109	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₄×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
111	C₄×D₄	—	2	2	no	—
112	C₄×D₄	—	2	2	no	—
113	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₄×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
115	#117	—	2	2	no	—
116	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	#108	—	4	4	no	—
122	#108	—	8	2	no	—
123	#107	—	2	4	no	—
124	#107	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
125	#107	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
126	#106	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
127	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
128	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
129	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
130	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
131	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
132	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	#104	—	8	4	no	—
137	#103	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
138	#103	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
139	#102	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
140	#102	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
145	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
146	#97	—	4	4	no	—
147	C₄×C₈	—	2	2	no	—
148	C₄×C₈	—	2	2	no	—
149	C₄×C₈	—	2	2	no	—
150	C₄×C₈	—	2	1	no	—
151	C₄×C₈	—	4	4	no	—
152	C₄×C₈	—	4	4	no	—
153	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
162	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
163	#95	—	2	2	no	—
164	#41	—	2	2	no	—
165	#41	—	2	2	no	—
166	#41	—	2	2	no	—
167	#41	—	2	2	no	—
168	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
169	C₂×D₄	—	2	2	no	—
170	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
175	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
178	Q₁₆	—	2	2	no	—
179	SD₁₆	—	2	4	no	—
180	D₈	—	2	2	no	—
181	M₁₆	—	4	4	no	—
182	M₁₆	—	4	4	no	—
183	C₂×C₈	—	2	1	no	—
184	C₂×C₈	—	2	1	no	—
185	C₂×C₈	—	2	1	no	—
186	C₂×C₈	—	2	2	no	—
187	C₂×C₈	—	2	2	no	—
188	C₂×C₈	—	2	2	no	—
189	C₂×C₈	—	2	1	no	—
190	C₂×C₈	—	2	2	no	—
191	C₂×C₈	—	2	2	no	—
192	C₂×C₈	—	4	1	no	—
193	C₂×C₈	—	4	2	no	—
194	C₂×C₈	—	4	2	no	—
195	C₂×C₈	—	4	2	no	—
196	C₂×C₈	—	4	4	no	—
197	C₂×C₈	—	4	4	no	—
198	C₂×C₈	—	8	2	no	—
199	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
208	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
209	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
213	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
214	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
215	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
218	C₄²	—	2	2	no	—
219	C₄²	—	2	2	no	—
220	C₄²	—	2	2	no	—
221	C₄²	—	4	2	no	—
222	C₄²	—	4	2	no	—
223	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
226	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
227	C₂³	—	2	2	no	—
228	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
229	Q₈	—	2	2	no	—
230	Q₈	—	2	2	no	—
231	D₄	—	2	2	no	—
232	D₄	—	2	2	no	—
233	D₄	—	4	2	no	—
234	D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	4	1	no	—
241	C₂×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂×C₄	—	8	2	no	—
247	C₂×C₄	—	8	2	no	—
248	C₂×C₄	—	8	2	no	—
249	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
259	C₈	—	2	2	no	—
260	C₈	—	2	1	no	—
261	C₈	—	2	1	no	—
262	C₈	—	2	1	no	—
263	C₈	—	2	1	no	—
264	C₈	—	2	1	no	—
265	C₈	—	4	1	no	—
266	C₈	—	4	2	no	—
267	C₈	—	4	2	no	—
268	C₈	—	4	2	no	—
269	C₈	—	4	2	no	—
270	C₈	—	8	4	no	—
271	C₈	#427	1	2	yes	—
272	C₈	#427	1	2	yes	—
273	C₈	#443	1	2	yes	—
274	C₂²	—	2	1	no	—
275	C₂²	—	2	1	no	—
276	C₂²	—	4	2	no	—
277	C₂²	—	4	2	no	—
278	C₂²	—	4	2	no	—
279	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂²	#3341	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	#3342	1	1	yes	characteristic
282	C₄	—	2	1	no	—
283	C₄	—	2	1	no	—
284	C₄	—	2	1	no	—
285	C₄	—	4	2	no	—
286	C₄	—	4	2	no	—
287	C₄	—	4	2	no	—
288	C₄	—	8	4	no	—
289	C₄	C₂×#427	1	1	yes	characteristic
290	C₄	#2913	1	1	yes	characteristic
291	C₄	C₂×#443	1	1	yes	characteristic
292	C₄	#2957	1	1	yes	characteristic
293	C₄	#3283	1	1	yes	characteristic
294	C₄	#3287	1	1	yes	characteristic
295	C₂	—	2	1	no	—
296	C₂	—	2	1	no	—
297	C₂	—	8	2	no	—
298	C₂	#22658	1	1	yes	characteristic
299	C₂	#22688	1	1	yes	characteristic
300	C₂	#22694	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	D₄×C₄⋊C₄
prime radical	C₂×#135	D₄
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #17829	C₂	semidirect
4. #9628	C₂	semidirect
5. #8903	C₂	semidirect
6. #8823	C₂	semidirect
7. #8667	C₂	semidirect
8. C₈×#107	C₂	semidirect
19. C₈×Q₁₆	C₄	semidirect
20. C₈×Q₁₆	C₄	semidirect
21. C₈×SD₁₆	C₄	semidirect
22. C₈×SD₁₆	C₄	semidirect
23. C₈×D₈	C₄	semidirect
24. C₈×D₈	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22802	2
C₈×#135	2
#17829	2
#9628	2
#8903	2
#8823	2
#8667	2
C₈×#107	2