Subgroups — #225729

Order 512.

555 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 327 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22782	C₂	1	2	yes	maximal
2	#17886	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#17830	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9632	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8905	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8904	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8824	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#8669	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2965	C₂²	1	2	yes	—
11	C₄×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2925	C₂²	1	2	yes	—
13	#2906	C₂²	1	2	yes	—
14	#1938	—	2	2	no	—
15	#1922	—	2	2	no	—
16	#1876	—	2	2	no	—
17	#1837	C₂²	1	2	yes	—
18	#1806	C₂²	1	2	yes	—
19	#1806	C₂²	1	2	yes	—
20	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#1770	C₂²	1	2	yes	—
22	#1765	—	2	2	no	—
23	#1591	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
24	#1591	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
25	#1590	C₄	1	2	yes	complemented
26	#1590	C₄	1	2	yes	complemented
27	#1589	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
28	#1589	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
29	#1574	—	2	2	no	—
30	#1573	—	2	2	no	—
31	#1571	C₂²	1	2	yes	—
32	#1570	C₂²	1	2	yes	—
33	#1569	—	2	2	no	—
34	#1567	C₂²	1	2	yes	—
35	#1566	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1566	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1565	—	2	2	no	—
38	#1564	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1476	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1303	C₂²	1	2	yes	—
43	#1303	C₂²	1	2	yes	—
44	#1279	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂×#135	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#131	—	2	2	no	—
47	C₄×#41	C₂³	1	2	yes	—
48	#446	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	#446	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₄×Q₁₆	Q₈	1	1	yes	characteristic
52	C₄×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₄×SD₁₆	Q₈	1	2	yes	—
54	C₄×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₄×D₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
56	#436	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	#436	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	#435	—	2	2	no	—
59	#435	—	2	2	no	—
60	#433	—	4	2	no	—
61	#432	—	2	2	no	—
62	#431	—	2	2	no	—
63	#431	—	2	2	no	—
64	#431	C₂³	1	2	yes	—
65	#427	D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#106	—	2	1	no	—
67	#424	—	2	2	no	—
68	#424	—	4	2	no	—
69	#423	—	2	2	no	—
70	#423	C₂³	1	2	yes	—
71	#423	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×#104	—	2	2	no	—
75	C₂×#104	—	2	2	no	—
76	#416	D₄	1	2	yes	—
77	#408	—	2	2	no	—
78	#405	—	2	2	no	—
79	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
80	C₂×#97	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
85	#341	—	2	2	no	—
86	#341	—	2	2	no	—
87	#340	—	2	1	no	—
88	#339	—	2	2	no	—
89	#339	—	2	2	no	—
90	#336	—	2	2	no	—
91	#335	—	2	2	no	—
92	#335	—	2	2	no	—
93	#335	—	2	2	no	—
94	#335	—	2	2	no	—
95	#335	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
96	#335	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
97	#334	—	2	2	no	—
98	#334	—	2	2	no	—
99	#334	—	4	1	no	—
100	#334	—	4	1	no	—
101	#334	C₂×C₄	1	2	yes	—
102	#334	D₄	1	2	yes	—
103	#334	D₄	1	1	yes	characteristic
104	#334	D₄	1	1	yes	characteristic
105	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
106	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
107	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
108	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
109	C₈²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₈²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₈²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₈²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	#135	—	4	2	no	—
115	C₂×Q₁₆	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂×SD₁₆	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
118	#131	—	4	4	no	—
119	#131	—	8	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
127	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
132	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₄×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
134	C₄×D₄	—	2	2	no	—
135	C₄×D₄	—	2	2	no	—
136	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₄×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
138	#117	—	2	2	no	—
139	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
144	#107	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
145	#107	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
146	#106	—	4	2	no	—
147	#106	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
148	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
154	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
156	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
157	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
159	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	#104	—	4	4	no	—
162	#104	—	8	2	no	—
163	#103	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
164	#103	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
165	#102	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
166	#102	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
167	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
168	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
169	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
170	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
171	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
172	#97	—	2	2	no	—
173	#97	—	2	2	no	—
174	#97	—	4	2	no	—
175	#97	—	8	2	no	—
176	C₄×C₈	—	2	2	no	—
177	C₄×C₈	—	2	1	no	—
178	C₄×C₈	—	4	2	no	—
179	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
180	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
188	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
189	#95	—	2	2	no	—
190	#41	—	2	2	no	—
191	#41	—	2	2	no	—
192	#41	—	2	2	no	—
193	#41	—	2	2	no	—
194	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
195	C₂×D₄	—	2	2	no	—
196	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
204	Q₁₆	—	4	1	no	—
205	SD₁₆	—	4	2	no	—
206	D₈	—	4	1	no	—
207	M₁₆	—	4	4	no	—
208	M₁₆	—	4	2	no	—
209	M₁₆	—	4	2	no	—
210	M₁₆	—	4	2	no	—
211	M₁₆	—	4	2	no	—
212	M₁₆	—	8	2	no	—
213	M₁₆	—	8	4	no	—
214	C₂×C₈	—	2	1	no	—
215	C₂×C₈	—	2	2	no	—
216	C₂×C₈	—	2	2	no	—
217	C₂×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂×C₈	—	2	2	no	—
219	C₂×C₈	—	2	2	no	—
220	C₂×C₈	—	2	1	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	4	1	no	—
224	C₂×C₈	—	4	2	no	—
225	C₂×C₈	—	4	2	no	—
226	C₂×C₈	—	4	2	no	—
227	C₂×C₈	—	4	2	no	—
228	C₂×C₈	—	4	2	no	—
229	C₂×C₈	—	8	4	no	—
230	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
243	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
247	C₄²	—	2	2	no	—
248	C₄²	—	2	2	no	—
249	C₄²	—	2	2	no	—
250	C₄²	—	4	2	no	—
251	C₄²	—	4	2	no	—
252	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
253	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
255	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
256	C₂³	—	2	2	no	—
257	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
258	Q₈	—	2	2	no	—
259	Q₈	—	2	2	no	—
260	D₄	—	2	2	no	—
261	D₄	—	2	2	no	—
262	D₄	—	4	2	no	—
263	D₄	—	4	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	4	1	no	—
270	C₂×C₄	—	4	2	no	—
271	C₂×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂×C₄	—	8	2	no	—
275	C₂×C₄	—	8	2	no	—
276	C₂×C₄	—	8	2	no	—
277	C₂×C₄	—	8	2	no	—
278	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
286	C₈	—	2	2	no	—
287	C₈	—	2	1	no	—
288	C₈	—	2	1	no	—
289	C₈	—	2	1	no	—
290	C₈	—	2	1	no	—
291	C₈	—	2	1	no	—
292	C₈	—	2	1	no	—
293	C₈	—	2	1	no	—
294	C₈	—	4	1	no	—
295	C₈	—	4	2	no	—
296	C₈	—	4	2	no	—
297	C₈	—	4	2	no	—
298	C₈	—	4	2	no	—
299	C₈	—	8	2	no	—
300	C₈	—	8	2	no	—
301	C₈	#444	1	2	yes	—
302	C₂²	—	2	1	no	—
303	C₂²	—	2	1	no	—
304	C₂²	—	4	2	no	—
305	C₂²	—	4	2	no	—
306	C₂²	—	4	2	no	—
307	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	#3351	1	2	yes	—
309	C₄	—	2	1	no	—
310	C₄	—	2	1	no	—
311	C₄	—	2	1	no	—
312	C₄	—	4	2	no	—
313	C₄	—	4	2	no	—
314	C₄	—	4	2	no	—
315	C₄	—	16	2	no	—
316	C₄	#2911	1	1	yes	characteristic
317	C₄	#2912	1	1	yes	characteristic
318	C₄	C₂×#444	1	1	yes	characteristic
319	C₄	#2957	1	1	yes	characteristic
320	C₄	#3275	1	2	yes	—
321	C₂	—	2	2	no	—
322	C₂	—	8	2	no	—
323	C₂	#22666	1	1	yes	characteristic
324	C₂	#22686	1	1	yes	characteristic
325	C₂	#22694	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	D₄×C₄⋊C₄
prime radical	C₂×#135	D₄
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #17830	C₂	semidirect
4. #9632	C₂	semidirect
5. #8905	C₂	semidirect
6. #8904	C₂	semidirect
7. #8824	C₂	semidirect
8. #8669	C₂	semidirect
9. #8283	C₂	semidirect
23. #1591	C₄	semidirect
24. #1591	C₄	semidirect
25. #1590	C₄	semidirect
26. #1590	C₄	semidirect
27. #1589	C₄	semidirect
28. #1589	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22782	2
#17886	2
#17830	2
#9632	2
#8905	2
#8904	2
#8824	2
#8669	2
#8283	2