Subgroups — #225768

Order 512.

603 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 260 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22719	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	M₁₆×D₈	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1589	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#9624	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8908	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8824	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8664	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	D₄×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
12	#1950	C₂²	1	4	yes	—
13	#1855	—	2	4	no	—
14	#1837	C₂²	1	2	yes	—
15	#1811	—	2	2	no	—
16	C₄×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#1738	—	2	2	no	—
18	#1589	—	2	2	no	—
19	#1589	C₄	1	2	yes	—
20	#1589	C₄	1	2	yes	—
21	#1589	C₄	1	2	yes	—
22	#1589	C₄	1	2	yes	—
23	#1581	—	2	4	no	—
24	C₈×D₈	—	2	2	no	—
25	#1567	C₂²	1	2	yes	—
26	#1566	C₂²	1	2	yes	—
27	#1564	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1486	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
31	C₈×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1301	C₂²	1	4	yes	—
34	#1278	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×D₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
39	C₄×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₄×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₄×D₈	D₄	1	2	yes	—
42	C₄×D₈	D₄	1	2	yes	—
43	#436	—	2	4	no	—
44	#436	—	2	2	no	—
45	#436	—	2	2	no	—
46	#436	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	#436	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	#435	—	4	4	no	—
49	C₈×D₄	—	2	4	no	—
50	#431	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#108	—	2	4	no	—
52	C₂×#108	D₄	1	2	yes	—
53	C₂×#107	Q₈	1	1	yes	characteristic
54	#423	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#102	Q₈	1	2	yes	—
57	#407	—	2	4	no	—
58	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
59	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#341	—	2	4	no	—
64	#341	—	2	2	no	—
65	#341	—	2	2	no	—
66	#341	D₄	1	1	yes	characteristic
67	#341	D₄	1	1	yes	characteristic
68	#335	—	2	2	no	—
69	#335	—	2	2	no	—
70	#335	—	2	1	no	—
71	#335	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	#335	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	#334	—	2	1	no	—
74	#334	—	4	2	no	—
75	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
76	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
77	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
79	#322	—	2	2	no	—
80	C₈²	—	2	2	no	—
81	C₈²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₈²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₈²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₈²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
86	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
87	C₂×D₈	—	4	2	no	—
88	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
89	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
90	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
91	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
92	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
93	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
94	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
95	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
96	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
97	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
101	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
102	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
106	C₄×D₄	—	2	2	no	—
107	C₄×D₄	—	2	2	no	—
108	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
109	C₄×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
113	#108	—	2	4	no	—
114	#108	—	8	4	no	—
115	#107	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
116	#107	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
118	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
119	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
120	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
121	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
122	#102	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
123	#102	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
124	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
125	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
126	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
127	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
128	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
129	#97	—	2	2	no	—
130	C₄×C₈	—	2	2	no	—
131	C₄×C₈	—	2	2	no	—
132	C₄×C₈	—	2	1	no	—
133	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
142	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
143	C₂⁴	—	2	2	no	—
144	C₂×D₄	—	2	2	no	—
145	C₂×D₄	—	4	2	no	—
146	C₂×D₄	—	4	2	no	—
147	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
148	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
152	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
153	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
156	D₈	—	2	4	no	—
157	D₈	—	4	2	no	—
158	M₁₆	—	2	2	no	—
159	M₁₆	—	2	2	no	—
160	M₁₆	—	2	2	no	—
161	M₁₆	—	4	4	no	—
162	M₁₆	—	4	4	no	—
163	M₁₆	—	8	4	no	—
164	M₁₆	—	8	4	no	—
165	M₁₆	—	8	8	no	—
166	M₁₆	#135	1	4	yes	—
167	C₂×C₈	—	2	1	no	—
168	C₂×C₈	—	2	2	no	—
169	C₂×C₈	—	2	2	no	—
170	C₂×C₈	—	2	2	no	—
171	C₂×C₈	—	2	2	no	—
172	C₂×C₈	—	2	4	no	—
173	C₂×C₈	—	2	1	no	—
174	C₂×C₈	—	2	2	no	—
175	C₂×C₈	—	4	1	no	—
176	C₂×C₈	—	4	2	no	—
177	C₂×C₈	—	4	4	no	—
178	C₂×C₈	—	4	4	no	—
179	C₂×C₈	—	4	2	no	—
180	C₂×C₈	—	8	8	no	—
181	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
191	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
194	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
196	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
197	C₂³	—	2	4	no	—
198	C₂³	—	4	4	no	—
199	C₂³	—	8	2	no	—
200	C₂³	—	8	2	no	—
201	C₂³	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
202	D₄	—	2	4	no	—
203	D₄	—	2	4	no	—
204	D₄	—	8	2	no	—
205	C₂×C₄	—	2	1	no	—
206	C₂×C₄	—	2	1	no	—
207	C₂×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂×C₄	—	4	1	no	—
209	C₂×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
221	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
222	C₈	—	2	2	no	—
223	C₈	—	2	1	no	—
224	C₈	—	2	1	no	—
225	C₈	—	2	1	no	—
226	C₈	—	2	1	no	—
227	C₈	—	2	1	no	—
228	C₈	—	2	1	no	—
229	C₈	—	2	1	no	—
230	C₈	—	2	4	no	—
231	C₈	—	4	1	no	—
232	C₈	—	4	4	no	—
233	C₈	—	4	2	no	—
234	C₈	—	8	2	no	—
235	C₈	—	8	4	no	—
236	C₈	#430	1	2	yes	—
237	C₂²	—	2	1	no	—
238	C₂²	—	2	1	no	—
239	C₂²	—	4	4	no	—
240	C₂²	—	4	4	no	—
241	C₂²	—	4	4	no	—
242	C₂²	—	16	4	no	—
243	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²	#3380	1	2	yes	—
245	C₄	—	2	1	no	—
246	C₄	—	2	1	no	—
247	C₄	—	2	1	no	—
248	C₄	—	4	4	no	—
249	C₄	C₂×#430	1	1	yes	characteristic
250	C₄	#2916	1	1	yes	characteristic
251	C₄	C₄×#135	1	1	yes	characteristic
252	C₄	#2948	1	1	yes	characteristic
253	C₄	#3280	1	2	yes	—
254	C₂	—	2	2	no	—
255	C₂	—	8	4	no	—
256	C₂	#22669	1	1	yes	characteristic
257	C₂	#22682	1	1	yes	characteristic
258	C₂	#22694	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	D₄×C₄⋊C₄
prime radical	C₂²×D₈	Q₈
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #22719	C₂	semidirect
4. #9624	C₂	semidirect
5. #8908	C₂	semidirect
6. #8824	C₂	semidirect
7. #8664	C₂	semidirect
8. C₈×#108	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22719	2
M₁₆×D₈	2
C₂×#1589	2
#9624	2
#8908	2
#8824	2
#8664	2
C₈×#108	2