Subgroups — #226186

Order 512.

643 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 418 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22669	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	D₄×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	M₁₆×D₈	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1581	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#9624	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8906	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8906	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8826	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#8662	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#8658	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8294	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	D₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	D₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#436	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#430	—	2	1	no	—
18	C₂²×#108	—	2	1	no	—
19	#1950	C₂²	1	2	yes	—
20	#1950	C₂²	1	2	yes	—
21	#1855	—	2	2	no	—
22	#1855	—	2	2	no	—
23	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1811	—	2	1	no	—
26	#1810	—	2	1	no	—
27	C₄×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1589	—	2	2	no	—
29	#1581	—	2	2	no	—
30	#1581	—	2	2	no	—
31	#1581	C₄	1	2	yes	—
32	#1581	C₄	1	2	yes	—
33	#1581	C₄	1	2	yes	—
34	#1581	C₄	1	2	yes	—
35	C₈×D₈	—	2	2	no	—
36	#1567	C₂²	1	2	yes	—
37	#1567	C₂²	1	2	yes	—
38	#1564	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1486	C₂²	1	2	yes	—
41	#1486	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₈×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1301	C₂²	1	2	yes	—
47	#1301	C₂²	1	2	yes	—
48	#1278	C₂²	1	2	yes	—
49	C₂²×D₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
51	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
53	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
54	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₄×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₄×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₄×D₈	D₄	1	2	yes	—
59	C₄×D₈	D₄	1	2	yes	—
60	#436	—	2	2	no	—
61	#436	—	2	2	no	—
62	#436	—	2	1	no	—
63	#436	—	2	1	no	—
64	#436	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	#436	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	#435	—	4	2	no	—
67	#435	—	4	2	no	—
68	C₈×D₄	—	2	2	no	—
69	C₈×D₄	—	2	2	no	—
70	C₈×D₄	—	2	1	no	—
71	C₈×D₄	—	2	1	no	—
72	C₈×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₈×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₈×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₈×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	#431	C₂³	1	2	yes	—
77	#430	—	4	4	no	—
78	C₂×#108	—	2	2	no	—
79	C₂×#108	—	2	2	no	—
80	C₂×#108	—	2	1	no	—
81	C₂×#108	—	2	1	no	—
82	C₂×#108	—	2	1	no	—
83	C₂×#108	—	2	1	no	—
84	C₂×#108	—	4	4	no	—
85	C₂×#108	D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×#108	D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂×#107	Q₈	1	1	yes	characteristic
88	#423	C₂³	1	2	yes	—
89	#423	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×#102	Q₈	1	1	yes	characteristic
93	C₂×#102	Q₈	1	1	yes	characteristic
94	#407	—	2	2	no	—
95	#407	—	2	2	no	—
96	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
98	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	#341	—	2	2	no	—
103	#341	—	2	2	no	—
104	#341	D₄	1	2	yes	—
105	#335	—	2	2	no	—
106	#335	—	2	2	no	—
107	#335	—	2	1	no	—
108	#335	—	4	2	no	—
109	#335	C₂×C₄	1	2	yes	—
110	#335	C₂×C₄	1	2	yes	—
111	#334	—	2	1	no	—
112	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
113	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
114	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
115	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
116	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
117	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
118	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
119	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
120	#322	—	2	2	no	—
121	#322	C₂×C₄	1	2	yes	—
122	#322	C₂×C₄	1	2	yes	—
123	C₈²	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
126	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
127	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
128	C₂×D₈	—	4	2	no	—
129	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
130	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
140	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
141	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
143	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
152	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
153	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
154	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
155	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
156	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
160	C₄×D₄	—	2	1	no	—
161	C₄×D₄	—	2	1	no	—
162	C₄×D₄	—	2	1	no	—
163	C₄×D₄	—	2	1	no	—
164	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
166	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
167	C₄×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₄×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
174	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
175	#108	—	2	2	no	—
176	#108	—	4	4	no	—
177	#108	—	4	4	no	—
178	#108	—	4	2	no	—
179	#108	—	4	2	no	—
180	#108	—	8	1	no	—
181	#108	—	8	1	no	—
182	#108	D₈	1	4	yes	complemented
183	#107	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
184	#107	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
185	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
186	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
187	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
188	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
189	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
190	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
191	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
192	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
193	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
194	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
195	#102	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
196	#102	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
197	#102	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
198	#102	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
199	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
200	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
201	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
202	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
203	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
204	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
205	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
206	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
207	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
208	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
209	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
210	#97	—	2	2	no	—
211	C₄×C₈	—	2	2	no	—
212	C₄×C₈	—	2	2	no	—
213	C₄×C₈	—	2	1	no	—
214	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
215	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
216	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
220	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
221	C₂⁴	—	2	1	no	—
222	C₂⁴	—	2	1	no	—
223	C₂×D₄	—	2	2	no	—
224	C₂×D₄	—	2	1	no	—
225	C₂×D₄	—	2	1	no	—
226	C₂×D₄	—	4	1	no	—
227	C₂×D₄	—	4	1	no	—
228	C₂×D₄	—	4	1	no	—
229	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
230	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
251	D₈	—	2	4	no	—
252	D₈	—	4	2	no	—
253	M₁₆	—	2	2	no	—
254	M₁₆	—	2	2	no	—
255	M₁₆	—	2	2	no	—
256	M₁₆	—	4	4	no	—
257	M₁₆	—	4	4	no	—
258	M₁₆	—	4	2	no	—
259	M₁₆	—	4	2	no	—
260	M₁₆	—	4	2	no	—
261	M₁₆	—	4	2	no	—
262	M₁₆	—	8	4	no	—
263	M₁₆	—	8	4	no	—
264	M₁₆	C₂×D₈	1	4	yes	—
265	C₂×C₈	—	2	2	no	—
266	C₂×C₈	—	2	1	no	—
267	C₂×C₈	—	2	1	no	—
268	C₂×C₈	—	2	1	no	—
269	C₂×C₈	—	2	1	no	—
270	C₂×C₈	—	2	2	no	—
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	4	1	no	—
274	C₂×C₈	—	4	1	no	—
275	C₂×C₈	—	4	1	no	—
276	C₂×C₈	—	4	1	no	—
277	C₂×C₈	—	4	1	no	—
278	C₂×C₈	—	4	1	no	—
279	C₂×C₈	—	4	2	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	4	2	no	—
285	C₂×C₈	—	4	2	no	—
286	C₂×C₈	—	8	4	no	—
287	C₂×C₈	—	8	4	no	—
288	C₂×C₈	—	8	1	no	—
289	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
290	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
291	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
296	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
297	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
299	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
300	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
301	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
302	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
308	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
309	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
310	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
311	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
312	C₂³	—	2	1	no	—
313	C₂³	—	2	1	no	—
314	C₂³	—	2	2	no	—
315	C₂³	—	4	2	no	—
316	C₂³	—	4	1	no	—
317	C₂³	—	4	1	no	—
318	C₂³	—	4	1	no	—
319	C₂³	—	4	1	no	—
320	C₂³	—	8	1	no	—
321	C₂³	—	8	1	no	—
322	C₂³	—	8	1	no	—
323	C₂³	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
324	D₄	—	2	2	no	—
325	D₄	—	2	1	no	—
326	D₄	—	2	1	no	—
327	D₄	—	2	1	no	—
328	D₄	—	2	2	no	—
329	D₄	—	4	2	no	—
330	D₄	—	8	1	no	—
331	D₄	#430	1	2	yes	complemented
332	C₂×C₄	—	2	1	no	—
333	C₂×C₄	—	2	1	no	—
334	C₂×C₄	—	2	1	no	—
335	C₂×C₄	—	2	1	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	1	no	—
338	C₂×C₄	—	4	1	no	—
339	C₂×C₄	—	4	1	no	—
340	C₂×C₄	—	4	1	no	—
341	C₂×C₄	—	4	1	no	—
342	C₂×C₄	—	4	1	no	—
343	C₂×C₄	—	4	1	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	1	no	—
346	C₂×C₄	—	4	1	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	1	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	1	no	—
351	C₂×C₄	—	4	1	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	1	no	—
354	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
364	C₈	—	2	2	no	—
365	C₈	—	2	2	no	—
366	C₈	—	2	1	no	—
367	C₈	—	2	1	no	—
368	C₈	—	2	4	no	—
369	C₈	—	4	2	no	—
370	C₈	—	4	1	no	—
371	C₈	—	4	1	no	—
372	C₈	—	4	2	no	—
373	C₈	—	4	2	no	—
374	C₈	—	8	2	no	—
375	C₈	—	8	2	no	—
376	C₈	—	8	2	no	—
377	C₈	C₄×D₈	1	2	yes	—
378	C₈	C₄×D₈	1	2	yes	—
379	C₂²	—	2	1	no	—
380	C₂²	—	2	1	no	—
381	C₂²	—	2	2	no	—
382	C₂²	—	4	1	no	—
383	C₂²	—	4	1	no	—
384	C₂²	—	4	1	no	—
385	C₂²	—	4	2	no	—
386	C₂²	—	4	1	no	—
387	C₂²	—	4	2	no	—
388	C₂²	—	4	1	no	—
389	C₂²	—	4	2	no	—
390	C₂²	—	8	2	no	—
391	C₂²	—	8	2	no	—
392	C₂²	—	16	1	no	—
393	C₂²	—	16	1	no	—
394	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	Q₈×D₈	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	#3380	1	1	yes	characteristic
397	C₄	—	2	1	no	—
398	C₄	—	2	1	no	—
399	C₄	—	2	1	no	—
400	C₄	—	4	1	no	—
401	C₄	—	4	1	no	—
402	C₄	—	4	2	no	—
403	C₄	C₂×#430	1	1	yes	characteristic
404	C₄	#2916	1	1	yes	characteristic
405	C₄	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
406	C₄	#2951	1	1	yes	characteristic
407	C₄	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
408	C₄	#3283	1	1	yes	characteristic
409	C₂	—	2	1	no	—
410	C₂	—	2	1	no	—
411	C₂	—	4	2	no	—
412	C₂	—	8	1	no	—
413	C₂	—	8	2	no	—
414	C₂	#22668	1	1	yes	characteristic
415	C₂	C₄⋊C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
416	C₂	#22695	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	D₄×C₄⋊C₄
prime radical	C₂²×D₈	Q₈
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #22669	C₂	semidirect
2. D₄×#108	C₂	semidirect
5. #9624	C₂	semidirect
6. #8906	C₂	semidirect
7. #8906	C₂	semidirect
8. #8826	C₂	semidirect
9. #8662	C₂	semidirect
10. #8658	C₂	semidirect
11. #8294	C₂	semidirect
182. #108	D₈	semidirect
331. D₄	#430	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22669	2
D₄×#108	2
M₁₆×D₈	2
C₂×#1581	2
#9624	2
#8906	2
#8826	2
#8662	2
#8658	2
#8294	2