Subgroups — #226188

Order 512.

607 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 388 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22719	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#22717	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	M₁₆×D₈	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1581	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#9624	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8908	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8908	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8827	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#8664	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#8660	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8294	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	D₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	D₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#436	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#1950	C₂²	1	2	yes	—
18	#1950	C₂²	1	2	yes	—
19	#1855	—	2	2	no	—
20	#1855	—	2	2	no	—
21	#1837	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1837	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1811	—	2	1	no	—
24	#1810	—	2	1	no	—
25	C₄×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1738	—	2	1	no	—
27	C₂×#341	—	2	1	no	—
28	#1589	—	2	2	no	—
29	#1581	—	2	2	no	—
30	#1581	—	2	2	no	—
31	#1581	C₄	1	2	yes	—
32	#1581	C₄	1	2	yes	—
33	#1581	C₄	1	2	yes	—
34	#1581	C₄	1	2	yes	—
35	C₈×D₈	—	2	2	no	—
36	#1567	C₂²	1	2	yes	—
37	#1566	C₂²	1	2	yes	—
38	#1564	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1486	C₂²	1	2	yes	—
41	#1486	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₈×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1301	C₂²	1	2	yes	—
47	#1301	C₂²	1	2	yes	—
48	#1278	C₂²	1	2	yes	—
49	C₂²×D₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
51	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
53	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
54	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₄×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₄×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₄×D₈	D₄	1	2	yes	—
59	C₄×D₈	D₄	1	2	yes	—
60	#436	—	2	2	no	—
61	#436	—	2	2	no	—
62	#436	—	2	1	no	—
63	#436	—	2	1	no	—
64	#436	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	#436	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	#435	—	4	2	no	—
67	#435	—	4	2	no	—
68	C₈×D₄	—	2	2	no	—
69	C₈×D₄	—	2	2	no	—
70	C₈×D₄	—	2	1	no	—
71	C₈×D₄	—	2	1	no	—
72	C₈×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₈×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₈×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₈×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	#431	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×#108	—	2	2	no	—
78	C₂×#108	—	2	2	no	—
79	C₂×#108	D₄	1	2	yes	—
80	C₂×#107	Q₈	1	1	yes	characteristic
81	#423	C₂³	1	2	yes	—
82	#423	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×#102	Q₈	1	1	yes	characteristic
86	C₂×#102	Q₈	1	1	yes	characteristic
87	#407	—	2	2	no	—
88	#407	—	2	2	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
91	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	#341	—	2	2	no	—
96	#341	—	2	2	no	—
97	#341	—	2	1	no	—
98	#341	—	2	1	no	—
99	#341	—	2	1	no	—
100	#341	—	2	1	no	—
101	#341	D₄	1	1	yes	characteristic
102	#341	D₄	1	1	yes	characteristic
103	#335	—	2	2	no	—
104	#335	—	2	2	no	—
105	#335	—	2	1	no	—
106	#335	C₂×C₄	1	2	yes	—
107	#335	C₂×C₄	1	2	yes	—
108	#334	—	2	1	no	—
109	#334	—	4	2	no	—
110	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
111	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
112	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
113	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
114	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
115	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
116	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
117	D₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
118	#322	—	2	2	no	—
119	#322	C₂×C₄	1	2	yes	—
120	#322	C₂×C₄	1	2	yes	—
121	C₈²	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
124	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
126	C₂×D₈	—	4	2	no	—
127	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
128	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
140	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
149	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
151	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
156	C₄×D₄	—	2	1	no	—
157	C₄×D₄	—	2	1	no	—
158	C₄×D₄	—	2	1	no	—
159	C₄×D₄	—	2	1	no	—
160	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
162	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	C₄×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₄×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
171	#108	—	2	4	no	—
172	#108	—	8	2	no	—
173	#108	—	8	2	no	—
174	#107	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
175	#107	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
176	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
177	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
178	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
181	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
182	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
183	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
186	#102	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
187	#102	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
188	#102	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
189	#102	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
190	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
191	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
192	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
193	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
194	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
195	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
196	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
197	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
198	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
199	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
200	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
201	#97	—	2	2	no	—
202	C₄×C₈	—	2	2	no	—
203	C₄×C₈	—	2	2	no	—
204	C₄×C₈	—	2	1	no	—
205	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
206	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
207	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
209	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
210	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
211	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
212	C₂⁴	—	2	1	no	—
213	C₂⁴	—	2	1	no	—
214	C₂×D₄	—	2	2	no	—
215	C₂×D₄	—	2	1	no	—
216	C₂×D₄	—	2	1	no	—
217	C₂×D₄	—	4	1	no	—
218	C₂×D₄	—	4	1	no	—
219	C₂×D₄	—	4	1	no	—
220	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
221	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
238	D₈	—	2	4	no	—
239	D₈	—	4	2	no	—
240	M₁₆	—	2	2	no	—
241	M₁₆	—	2	2	no	—
242	M₁₆	—	2	2	no	—
243	M₁₆	—	4	2	no	—
244	M₁₆	—	4	2	no	—
245	M₁₆	—	4	2	no	—
246	M₁₆	—	4	2	no	—
247	M₁₆	—	8	2	no	—
248	M₁₆	—	8	2	no	—
249	M₁₆	—	8	4	no	—
250	M₁₆	—	8	4	no	—
251	M₁₆	#135	1	4	yes	—
252	C₂×C₈	—	2	2	no	—
253	C₂×C₈	—	2	2	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	2	1	no	—
256	C₂×C₈	—	2	1	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	2	no	—
260	C₂×C₈	—	4	1	no	—
261	C₂×C₈	—	4	1	no	—
262	C₂×C₈	—	4	2	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	—	4	2	no	—
265	C₂×C₈	—	4	2	no	—
266	C₂×C₈	—	4	2	no	—
267	C₂×C₈	—	8	1	no	—
268	C₂×C₈	—	8	1	no	—
269	C₂×C₈	—	8	1	no	—
270	C₂×C₈	—	8	1	no	—
271	C₂×C₈	—	8	4	no	—
272	C₂×C₈	—	8	4	no	—
273	C₂×C₈	—	8	1	no	—
274	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
275	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
276	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
282	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
283	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
284	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
285	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
292	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
294	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
295	C₂³	—	2	1	no	—
296	C₂³	—	2	1	no	—
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	—	4	2	no	—
299	C₂³	—	4	2	no	—
300	C₂³	—	4	2	no	—
301	C₂³	—	8	1	no	—
302	C₂³	—	8	1	no	—
303	C₂³	—	8	1	no	—
304	C₂³	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
305	D₄	—	2	2	no	—
306	D₄	—	2	1	no	—
307	D₄	—	2	1	no	—
308	D₄	—	2	1	no	—
309	D₄	—	2	2	no	—
310	D₄	—	4	2	no	—
311	D₄	—	8	1	no	—
312	D₄	#430	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	2	1	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	1	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	1	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	1	no	—
322	C₂×C₄	—	4	1	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	1	no	—
325	C₂×C₄	—	4	1	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
339	C₈	—	2	2	no	—
340	C₈	—	2	2	no	—
341	C₈	—	2	1	no	—
342	C₈	—	2	1	no	—
343	C₈	—	2	1	no	—
344	C₈	—	2	1	no	—
345	C₈	—	2	4	no	—
346	C₈	—	4	2	no	—
347	C₈	—	4	1	no	—
348	C₈	—	4	1	no	—
349	C₈	—	4	2	no	—
350	C₈	—	4	2	no	—
351	C₈	—	8	2	no	—
352	C₈	—	8	2	no	—
353	C₈	—	8	2	no	—
354	C₂²	—	2	1	no	—
355	C₂²	—	2	1	no	—
356	C₂²	—	2	2	no	—
357	C₂²	—	4	1	no	—
358	C₂²	—	4	1	no	—
359	C₂²	—	4	1	no	—
360	C₂²	—	4	2	no	—
361	C₂²	—	4	1	no	—
362	C₂²	—	4	2	no	—
363	C₂²	—	4	1	no	—
364	C₂²	—	4	2	no	—
365	C₂²	—	8	4	no	—
366	C₂²	—	16	2	no	—
367	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#3380	1	2	yes	—
369	C₄	—	2	1	no	—
370	C₄	—	2	1	no	—
371	C₄	—	2	1	no	—
372	C₄	—	4	1	no	—
373	C₄	—	4	1	no	—
374	C₄	—	4	2	no	—
375	C₄	C₂×#430	1	1	yes	characteristic
376	C₄	#2916	1	1	yes	characteristic
377	C₄	C₄×#135	1	1	yes	characteristic
378	C₄	#2948	1	1	yes	characteristic
379	C₄	#3280	1	2	yes	—
380	C₂	—	2	2	no	—
381	C₂	—	4	2	no	—
382	C₂	—	8	1	no	—
383	C₂	—	8	2	no	—
384	C₂	#22668	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#22682	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#22695	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	D₄×C₄⋊C₄
prime radical	C₂²×D₈	Q₈
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #22719	C₂	semidirect
2. #22717	C₂	semidirect
5. #9624	C₂	semidirect
6. #8908	C₂	semidirect
7. #8908	C₂	semidirect
8. #8827	C₂	semidirect
9. #8664	C₂	semidirect
10. #8660	C₂	semidirect
11. #8294	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22719	2
#22717	2
M₁₆×D₈	2
C₂×#1581	2
#9624	2
#8908	2
#8827	2
#8664	2
#8660	2
#8294	2