Subgroups — #226191

Order 512.

528 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 357 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22733	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	Q₈×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	M₁₆×Q₁₆	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1584	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#9624	C₂	1	2	yes	maximal
6	#8907	C₂	1	2	yes	maximal
7	#8907	C₂	1	2	yes	maximal
8	#8826	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#8663	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#8659	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#8294	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	Q₈×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	Q₈×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#446	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#1950	—	2	2	no	—
18	#1950	—	2	2	no	—
19	#1950	C₂²	1	2	yes	—
20	#1950	C₂²	1	2	yes	—
21	#1849	—	2	1	no	—
22	#1848	—	2	1	no	—
23	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1778	—	2	1	no	—
26	C₄×#108	—	2	1	no	—
27	C₄×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1591	—	2	2	no	—
29	#1584	—	2	2	no	—
30	#1584	—	2	2	no	—
31	#1584	C₄	1	2	yes	—
32	#1584	C₄	1	2	yes	—
33	#1584	C₄	1	2	yes	—
34	#1584	C₄	1	2	yes	—
35	C₈×Q₁₆	—	2	2	no	—
36	#1567	C₂²	1	2	yes	—
37	#1567	C₂²	1	2	yes	—
38	#1564	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1487	C₂²	1	2	yes	—
41	#1487	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₈×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1301	C₂²	1	2	yes	—
47	#1301	C₂²	1	2	yes	—
48	#1278	C₂²	1	2	yes	—
49	C₂²×Q₁₆	Q₈	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	#446	—	2	2	no	—
53	#446	—	2	2	no	—
54	#446	—	2	1	no	—
55	#446	—	2	1	no	—
56	#446	—	4	2	no	—
57	#446	—	4	2	no	—
58	#446	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	#446	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₈×Q₈	—	2	1	no	—
61	C₈×Q₈	—	2	1	no	—
62	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
63	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
64	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₄×Q₁₆	D₄	1	2	yes	—
71	C₄×Q₁₆	D₄	1	2	yes	—
72	#431	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×#108	—	2	1	no	—
74	C₂×#108	—	2	1	no	—
75	C₂×#108	—	2	2	no	—
76	C₂×#108	—	2	2	no	—
77	C₂×#108	—	2	1	no	—
78	C₂×#108	—	2	1	no	—
79	C₂×#108	D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×#108	D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×#107	Q₈	1	1	yes	characteristic
82	#423	—	2	2	no	—
83	#423	—	2	2	no	—
84	#423	C₂³	1	2	yes	—
85	#423	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
87	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
88	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×#103	Q₈	1	1	yes	characteristic
91	C₂×#103	Q₈	1	1	yes	characteristic
92	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
93	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
94	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×#97	—	2	1	no	—
96	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	#341	—	2	2	no	—
101	#341	—	2	2	no	—
102	#341	D₄	1	2	yes	—
103	#335	—	2	2	no	—
104	#335	—	2	2	no	—
105	#335	—	2	1	no	—
106	#335	—	4	2	no	—
107	#335	C₂×C₄	1	2	yes	—
108	#335	C₂×C₄	1	2	yes	—
109	#334	—	2	1	no	—
110	Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
111	Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
112	Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
113	Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
114	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
115	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
116	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
117	Q₈⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
118	#322	—	2	2	no	—
119	#322	C₂×C₄	1	2	yes	—
120	#322	C₂×C₄	1	2	yes	—
121	C₈²	—	2	2	no	—
122	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
124	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
125	C₂×Q₁₆	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
126	C₂×Q₁₆	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
134	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
138	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
139	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
140	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
141	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
142	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
154	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
155	#108	—	2	2	no	—
156	#108	—	4	2	no	—
157	#108	—	4	2	no	—
158	#108	—	8	1	no	—
159	#108	—	8	1	no	—
160	#108	—	8	2	no	—
161	#108	—	8	2	no	—
162	#108	Q₁₆	1	4	yes	complemented
163	#107	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
164	#107	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
165	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
166	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
167	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
169	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
170	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
171	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
172	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
173	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
174	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
175	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
176	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
177	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
178	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
179	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
180	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
181	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
182	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
185	#103	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
186	#103	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
187	#103	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
188	#103	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
189	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
190	#97	—	2	2	no	—
191	#97	—	2	2	no	—
192	#97	—	2	2	no	—
193	#97	—	4	2	no	—
194	#97	—	4	2	no	—
195	C₄×C₈	—	2	1	no	—
196	C₄×C₈	—	2	1	no	—
197	C₄×C₈	—	2	1	no	—
198	C₄×C₈	—	2	1	no	—
199	C₄×C₈	—	2	2	no	—
200	C₄×C₈	—	2	2	no	—
201	C₄×C₈	—	2	1	no	—
202	C₄×C₈	—	4	2	no	—
203	C₄×C₈	—	4	2	no	—
204	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
205	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
206	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
207	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
209	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
210	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
211	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
217	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
218	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
227	Q₁₆	—	2	4	no	—
228	Q₁₆	—	4	2	no	—
229	M₁₆	—	2	2	no	—
230	M₁₆	—	2	2	no	—
231	M₁₆	—	2	2	no	—
232	M₁₆	—	4	2	no	—
233	M₁₆	—	4	2	no	—
234	M₁₆	—	4	2	no	—
235	M₁₆	—	4	2	no	—
236	M₁₆	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	1	no	—
239	C₂×C₈	—	2	1	no	—
240	C₂×C₈	—	2	1	no	—
241	C₂×C₈	—	2	1	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	4	1	no	—
246	C₂×C₈	—	4	1	no	—
247	C₂×C₈	—	4	1	no	—
248	C₂×C₈	—	4	1	no	—
249	C₂×C₈	—	4	1	no	—
250	C₂×C₈	—	4	1	no	—
251	C₂×C₈	—	4	2	no	—
252	C₂×C₈	—	4	2	no	—
253	C₂×C₈	—	4	2	no	—
254	C₂×C₈	—	8	1	no	—
255	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
256	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
257	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
263	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
271	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
272	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
273	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
274	C₄²	—	2	1	no	—
275	C₄²	—	2	1	no	—
276	C₄²	—	2	2	no	—
277	C₄²	—	2	1	no	—
278	C₄²	—	2	2	no	—
279	C₄²	—	2	1	no	—
280	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
281	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
283	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
284	C₂³	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
285	Q₈	—	2	1	no	—
286	Q₈	—	2	2	no	—
287	Q₈	—	2	1	no	—
288	Q₈	—	2	1	no	—
289	Q₈	—	2	2	no	—
290	Q₈	—	4	2	no	—
291	Q₈	—	8	1	no	—
292	Q₈	#430	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	1	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	1	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	8	1	no	—
304	C₂×C₄	—	8	1	no	—
305	C₂×C₄	—	8	1	no	—
306	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
316	C₈	—	2	2	no	—
317	C₈	—	2	2	no	—
318	C₈	—	2	1	no	—
319	C₈	—	2	1	no	—
320	C₈	—	2	4	no	—
321	C₈	—	4	2	no	—
322	C₈	—	4	1	no	—
323	C₈	—	4	1	no	—
324	C₈	—	4	2	no	—
325	C₈	—	4	2	no	—
326	C₈	—	8	2	no	—
327	C₈	—	8	2	no	—
328	C₈	—	8	2	no	—
329	C₈	C₄×Q₁₆	1	2	yes	—
330	C₈	C₄×Q₁₆	1	2	yes	—
331	C₂²	—	2	1	no	—
332	C₂²	—	2	1	no	—
333	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	Q₈×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	#3383	1	1	yes	characteristic
336	C₄	—	2	1	no	—
337	C₄	—	2	2	no	—
338	C₄	—	2	1	no	—
339	C₄	—	2	1	no	—
340	C₄	—	4	1	no	—
341	C₄	—	4	2	no	—
342	C₄	—	4	1	no	—
343	C₄	—	4	1	no	—
344	C₄	—	4	2	no	—
345	C₄	C₂×#430	1	1	yes	characteristic
346	C₄	#2916	1	1	yes	characteristic
347	C₄	C₂×C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
348	C₄	#2951	1	1	yes	characteristic
349	C₄	D₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
350	C₄	#3287	1	1	yes	characteristic
351	C₂	—	2	1	no	—
352	C₂	—	2	1	no	—
353	C₂	#22668	1	1	yes	characteristic
354	C₂	C₄⋊C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#22695	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	D₄×C₄⋊C₄
prime radical	C₂³	D₄×Q₈
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
162. #108	Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22733	2
Q₈×#108	2
M₁₆×Q₁₆	2
C₂×#1584	2
#9624	2
#8907	2
#8826	2
#8663	2
#8659	2
#8294	2