Subgroups — #226229

Order 512.

680 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 361 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22751	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₄×#436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#9603	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#8834	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8832	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8785	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8597	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×#335	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#7876	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂×#436	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#436	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#1923	—	2	2	no	—
17	#1917	—	2	2	no	—
18	#1870	—	2	2	no	—
19	#1831	C₂²	1	2	yes	—
20	#1797	C₂²	1	2	yes	—
21	#1797	C₂²	1	2	yes	—
22	#1770	C₄	1	1	yes	characteristic
23	#1770	C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1753	—	2	2	no	—
27	#1753	C₄	1	2	yes	—
28	#1753	C₄	1	2	yes	—
29	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
34	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1277	C₂²	1	2	yes	—
39	#1277	C₂²	1	2	yes	—
40	#1277	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
42	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
48	#436	—	2	4	no	—
49	#436	—	2	4	no	—
50	#432	—	2	4	no	—
51	#432	—	4	2	no	—
52	#423	—	2	4	no	—
53	#423	—	4	2	no	—
54	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₄×M₁₆	—	4	2	no	—
67	C₄×M₁₆	—	4	2	no	—
68	C₂×#97	—	2	2	no	—
69	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₄×C₄⋊C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
82	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
84	C₄×C₂²⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
85	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#336	—	2	2	no	—
87	#336	—	2	2	no	—
88	#336	—	2	2	no	—
89	#336	—	2	2	no	—
90	#336	—	2	2	no	—
91	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	#335	—	2	4	no	—
95	#335	—	4	2	no	—
96	#334	—	4	2	no	—
97	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
101	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
104	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
105	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
106	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
107	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
108	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
109	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₄×D₄	—	2	2	no	—
121	C₄×D₄	—	2	2	no	—
122	C₄×D₄	—	4	2	no	—
123	C₄×D₄	—	4	2	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
144	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
153	C₄⋊C₈	M₁₆	1	4	yes	complemented
154	C₄⋊C₈	#41	1	4	yes	—
155	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
156	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
157	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
158	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
159	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
160	#97	—	4	2	no	—
161	#97	—	4	2	no	—
162	#97	—	4	4	no	—
163	C₄×C₈	—	2	2	no	—
164	C₄×C₈	—	2	2	no	—
165	C₄×C₈	—	2	2	no	—
166	C₄×C₈	—	2	2	no	—
167	C₄×C₈	—	2	2	no	—
168	C₄×C₈	—	2	2	no	—
169	C₄×C₈	—	4	1	no	—
170	C₄×C₈	—	8	2	no	—
171	C₄×C₈	M₁₆	1	4	yes	complemented
172	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
173	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
174	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
175	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
176	C₂×D₄	—	2	2	no	—
177	C₂×D₄	—	4	1	no	—
178	C₂×D₄	—	4	1	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
195	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
205	M₁₆	—	4	8	no	—
206	M₁₆	—	4	8	no	—
207	M₁₆	—	8	8	no	—
208	C₂×C₈	—	2	1	no	—
209	C₂×C₈	—	2	1	no	—
210	C₂×C₈	—	2	1	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	1	no	—
213	C₂×C₈	—	2	1	no	—
214	C₂×C₈	—	2	2	no	—
215	C₂×C₈	—	2	1	no	—
216	C₂×C₈	—	2	1	no	—
217	C₂×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂×C₈	—	2	4	no	—
219	C₂×C₈	—	2	1	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	—	2	1	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	4	2	no	—
224	C₂×C₈	—	4	2	no	—
225	C₂×C₈	—	4	2	no	—
226	C₂×C₈	—	4	2	no	—
227	C₂×C₈	—	4	2	no	—
228	C₂×C₈	—	4	2	no	—
229	C₂×C₈	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	2	no	—
234	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
235	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
236	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
237	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
238	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
244	C₄²	—	2	2	no	—
245	C₄²	—	2	2	no	—
246	C₄²	—	2	2	no	—
247	C₄²	—	2	2	no	—
248	C₄²	—	2	2	no	—
249	C₄²	—	2	2	no	—
250	C₄²	—	2	1	no	—
251	C₄²	—	2	1	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	2	1	no	—
254	C₄²	—	2	1	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	4	1	no	—
257	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
258	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
259	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
260	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	2	no	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
269	D₄	—	4	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄	—	2	1	no	—
273	C₂×C₄	—	2	1	no	—
274	C₂×C₄	—	2	1	no	—
275	C₂×C₄	—	2	1	no	—
276	C₂×C₄	—	2	1	no	—
277	C₂×C₄	—	2	1	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	1	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	8	2	no	—
299	C₂×C₄	—	8	2	no	—
300	C₂×C₄	#423	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#423	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	#430	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
314	C₈	—	2	2	no	—
315	C₈	—	2	4	no	—
316	C₈	—	2	2	no	—
317	C₈	—	2	2	no	—
318	C₈	—	4	1	no	—
319	C₈	—	4	2	no	—
320	C₈	—	4	4	no	—
321	C₈	—	8	2	no	—
322	C₈	—	8	2	no	—
323	C₈	—	8	2	no	—
324	C₂²	—	4	2	no	—
325	C₂²	—	4	2	no	—
326	C₂²	—	4	2	no	—
327	C₂²	—	4	2	no	—
328	C₂²	—	4	2	no	—
329	C₂²	—	4	2	no	—
330	C₂²	—	4	2	no	—
331	C₂²	#2349	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	C₂×#423	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#2906	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#2911	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	#2913	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂×#430	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#2916	1	1	yes	characteristic
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	2	2	no	—
341	C₄	—	2	2	no	—
342	C₄	—	4	1	no	—
343	C₄	—	4	2	no	—
344	C₄	—	4	2	no	—
345	C₄	—	4	2	no	—
346	C₄	#2965	1	1	yes	characteristic
347	C₄	#2971	1	1	yes	characteristic
348	C₄	#2974	1	1	yes	characteristic
349	C₄	#2975	1	1	yes	characteristic
350	C₄	#3322	1	2	yes	—
351	C₄	#3327	1	2	yes	—
352	C₂	—	8	2	no	—
353	C₂	#17795	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#17799	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#17831	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#17840	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#22700	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#22716	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#22719	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂²×D₄	C₄⋊C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄²×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #9603	C₂	semidirect
4. #8834	C₂	semidirect
5. #8832	C₂	semidirect
6. #8785	C₂	semidirect
7. #8597	C₂	semidirect
8. C₄×#335	C₂	semidirect
9. #7876	C₂	semidirect
153. C₄⋊C₈	M₁₆	semidirect
171. C₄×C₈	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22751	2
C₄×#436	2
#9603	2
#8834	2
#8832	2
#8785	2
#8597	2
C₄×#335	2
#7876	2