Subgroups — #226249

Order 512.

628 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 354 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22749	C₂	1	2	yes	maximal
2	#21264	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#9606	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#8833	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8831	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8785	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8600	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8273	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#7880	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
13	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#1954	C₄	1	1	yes	characteristic
15	#1954	C₄	1	1	yes	characteristic
16	#1939	C₄	1	1	yes	characteristic
17	#1939	C₄	1	1	yes	characteristic
18	#1924	—	2	2	no	—
19	#1923	C₄	1	2	yes	—
20	#1923	C₄	1	2	yes	—
21	#1916	—	2	2	no	—
22	#1870	—	2	2	no	—
23	#1831	C₂²	1	2	yes	—
24	#1797	C₂²	1	2	yes	—
25	#1797	C₂²	1	2	yes	—
26	#1767	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1753	—	2	2	no	—
29	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
34	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1277	C₂²	1	2	yes	—
39	#1277	C₂²	1	2	yes	—
40	#1277	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
46	#431	—	2	4	no	—
47	#431	—	4	2	no	—
48	#431	—	4	2	no	—
49	#431	—	4	2	no	—
50	#423	—	2	4	no	—
51	#423	—	4	2	no	—
52	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×#97	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₄×C₄⋊C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
80	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
82	C₄×C₂²⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
83	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#336	—	2	2	no	—
85	#336	—	2	2	no	—
86	#336	—	2	2	no	—
87	#336	—	2	2	no	—
88	#336	—	2	2	no	—
89	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#335	—	4	2	no	—
93	#334	—	2	4	no	—
94	#334	—	4	2	no	—
95	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
99	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
100	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
101	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₄×D₄	—	2	4	no	—
113	C₄×D₄	—	4	1	no	—
114	C₄×D₄	—	4	1	no	—
115	C₄×D₄	—	4	1	no	—
116	C₄×D₄	—	4	1	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
137	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
138	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
139	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
140	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
141	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
142	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
143	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
144	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
145	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
146	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
147	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
148	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
149	C₄⋊C₈	#41	1	4	yes	—
150	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
151	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
152	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
153	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
154	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
155	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
156	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
157	#97	—	8	2	no	—
158	C₄×C₈	—	2	2	no	—
159	C₄×C₈	—	2	2	no	—
160	C₄×C₈	—	2	2	no	—
161	C₄×C₈	—	2	2	no	—
162	C₄×C₈	—	2	2	no	—
163	C₄×C₈	—	4	1	no	—
164	C₄×C₈	—	4	1	no	—
165	C₄×C₈	—	4	1	no	—
166	C₄×C₈	—	4	4	no	—
167	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
168	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
169	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
170	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
171	C₂×D₄	—	2	2	no	—
172	C₂×D₄	—	4	1	no	—
173	C₂×D₄	—	4	1	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
190	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
200	M₁₆	—	8	8	no	—
201	C₂×C₈	—	2	1	no	—
202	C₂×C₈	—	2	1	no	—
203	C₂×C₈	—	2	1	no	—
204	C₂×C₈	—	2	1	no	—
205	C₂×C₈	—	2	1	no	—
206	C₂×C₈	—	2	2	no	—
207	C₂×C₈	—	2	2	no	—
208	C₂×C₈	—	2	4	no	—
209	C₂×C₈	—	2	1	no	—
210	C₂×C₈	—	2	2	no	—
211	C₂×C₈	—	2	1	no	—
212	C₂×C₈	—	2	1	no	—
213	C₂×C₈	—	2	1	no	—
214	C₂×C₈	—	2	1	no	—
215	C₂×C₈	—	2	1	no	—
216	C₂×C₈	—	2	2	no	—
217	C₂×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂×C₈	—	2	2	no	—
219	C₂×C₈	—	4	2	no	—
220	C₂×C₈	—	4	2	no	—
221	C₂×C₈	—	4	2	no	—
222	C₂×C₈	—	4	2	no	—
223	C₂×C₈	—	4	2	no	—
224	C₂×C₈	—	4	2	no	—
225	C₂×C₈	—	4	2	no	—
226	C₂×C₈	—	4	2	no	—
227	C₂×C₈	—	4	2	no	—
228	C₂×C₈	—	4	2	no	—
229	C₂×C₈	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
231	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
233	C₄⋊C₄	#108	1	4	yes	—
234	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
237	C₄²	—	2	2	no	—
238	C₄²	—	2	2	no	—
239	C₄²	—	2	2	no	—
240	C₄²	—	2	2	no	—
241	C₄²	—	2	2	no	—
242	C₄²	—	2	2	no	—
243	C₄²	—	2	1	no	—
244	C₄²	—	2	1	no	—
245	C₄²	—	2	1	no	—
246	C₄²	—	2	1	no	—
247	C₄²	—	2	1	no	—
248	C₄²	—	2	1	no	—
249	C₄²	—	2	2	no	—
250	C₄²	—	2	2	no	—
251	C₄²	—	4	1	no	—
252	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
253	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
254	C₂³	—	2	2	no	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	—	2	2	no	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	2	2	no	—
260	C₂³	—	2	2	no	—
261	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
262	D₄	—	4	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂×C₄	—	2	1	no	—
267	C₂×C₄	—	2	1	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	1	no	—
274	C₂×C₄	—	2	1	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	1	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	C₂×#108	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₂×#108	1	4	yes	—
296	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	#575	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	#575	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
307	C₈	—	2	2	no	—
308	C₈	—	4	1	no	—
309	C₈	—	4	1	no	—
310	C₈	—	4	2	no	—
311	C₈	—	4	1	no	—
312	C₈	—	4	2	no	—
313	C₈	—	4	4	no	—
314	C₈	—	8	2	no	—
315	C₈	—	8	2	no	—
316	C₈	—	8	2	no	—
317	C₂²	—	4	2	no	—
318	C₂²	—	4	2	no	—
319	C₂²	—	4	2	no	—
320	C₂²	—	4	2	no	—
321	C₂²	—	4	2	no	—
322	C₂²	—	4	2	no	—
323	C₂²	—	4	2	no	—
324	C₂²	#2349	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	#2905	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	#2906	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	#2911	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	#2912	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	C₂²×#108	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	#2916	1	1	yes	characteristic
331	C₄	—	2	2	no	—
332	C₄	—	2	2	no	—
333	C₄	—	2	4	no	—
334	C₄	—	4	1	no	—
335	C₄	—	4	1	no	—
336	C₄	—	4	1	no	—
337	C₄	—	4	2	no	—
338	C₄	—	4	2	no	—
339	C₄	#2967	1	1	yes	characteristic
340	C₄	#2968	1	1	yes	characteristic
341	C₄	#2980	1	1	yes	characteristic
342	C₄	#2981	1	1	yes	characteristic
343	C₄	#3323	1	2	yes	—
344	C₄	#3326	1	2	yes	—
345	C₂	—	8	2	no	—
346	C₂	#17819	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#17824	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#17833	1	1	yes	characteristic
349	C₂	#17835	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#22702	1	1	yes	characteristic
351	C₂	#22714	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#22717	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂²×D₄	C₄⋊C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄²×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #9606	C₂	semidirect
4. #8833	C₂	semidirect
5. #8831	C₂	semidirect
6. #8785	C₂	semidirect
7. #8600	C₂	semidirect
8. #8273	C₂	semidirect
9. #7880	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22749	2
#21264	2
#9606	2
#8833	2
#8831	2
#8785	2
#8600	2
#8273	2
#7880	2