Subgroups — #22639

Order 256.

414 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 193 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#1939	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#1923	C₂	1	4	yes	maximal
4	#1839	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₄×C₄⋊C₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×#117	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#117	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	4	yes	—
18	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
20	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
23	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	#376	C₄	1	2	yes	—
25	C₄³	C₂²	1	2	yes	—
26	#336	C₂²	1	2	yes	—
27	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#336	C₂²	1	4	yes	—
29	#336	C₂²	1	4	yes	—
30	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
36	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
37	#117	—	2	4	no	—
38	#117	C₈	1	8	yes	complemented
39	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
46	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
57	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
58	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
59	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
60	C₄×C₈	—	2	4	no	—
61	C₄×C₈	—	4	4	no	—
62	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
69	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
70	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
71	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
74	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
75	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
76	C₂²×C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₈	—	2	2	no	—
88	C₂×C₈	—	2	2	no	—
89	C₂×C₈	—	2	2	no	—
90	C₂×C₈	—	2	2	no	—
91	C₂×C₈	—	2	4	no	—
92	C₂×C₈	—	2	4	no	—
93	C₂×C₈	—	2	4	no	—
94	C₂×C₈	—	2	2	no	—
95	C₂×C₈	#41	1	4	yes	—
96	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
97	C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
98	C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
99	C₄⋊C₄	M₁₆	1	4	yes	—
100	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
101	C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
102	C₄²	—	2	2	no	—
103	C₄²	—	2	2	no	—
104	C₄²	—	2	4	no	—
105	C₄²	—	2	4	no	—
106	C₄²	—	2	4	no	—
107	C₄²	—	2	2	no	—
108	C₄²	—	2	2	no	—
109	C₄²	—	2	2	no	—
110	C₄²	—	4	2	no	—
111	C₄²	C₂×C₈	1	8	yes	—
112	C₄²	#41	1	4	yes	—
113	C₂³	—	2	1	no	—
114	C₂³	—	2	1	no	—
115	C₂³	—	2	1	no	—
116	C₂³	—	2	1	no	—
117	C₂³	—	2	1	no	—
118	C₂³	—	2	1	no	—
119	C₂³	C₂²×C₈	1	2	yes	—
120	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄	—	2	1	no	—
122	C₂×C₄	—	2	1	no	—
123	C₂×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄	—	2	1	no	—
127	C₂×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄	—	2	1	no	—
130	C₂×C₄	—	2	1	no	—
131	C₂×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄	—	2	1	no	—
133	C₂×C₄	—	2	8	no	—
134	C₂×C₄	—	2	1	no	—
135	C₂×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄	—	2	1	no	—
137	C₂×C₄	—	2	1	no	—
138	C₂×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄	—	4	4	no	—
141	C₂×C₄	—	4	2	no	—
142	C₂×C₄	—	4	2	no	—
143	C₂×C₄	#117	1	2	yes	—
144	C₂×C₄	#117	1	2	yes	—
145	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
146	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
147	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
148	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
149	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
150	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
151	C₂×C₄	#131	1	2	yes	—
152	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
153	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
154	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
156	C₈	—	2	4	no	—
157	C₈	—	4	4	no	—
158	C₈	—	4	2	no	—
159	C₂²	—	2	2	no	—
160	C₂²	—	2	2	no	—
161	C₂²	—	2	2	no	—
162	C₂²	—	4	1	no	—
163	C₂²	—	4	1	no	—
164	C₂²	—	4	1	no	—
165	C₂²	—	4	1	no	—
166	C₂²	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
167	C₂²	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
168	C₂²	#520	1	1	yes	characteristic
169	C₂²	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
170	C₂²	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
171	C₂²	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
172	C₂²	#568	1	1	yes	characteristic
173	C₄	—	2	2	no	—
174	C₄	—	2	2	no	—
175	C₄	—	2	2	no	—
176	C₄	—	2	4	no	—
177	C₄	—	2	4	no	—
178	C₄	—	2	4	no	—
179	C₄	—	4	1	no	—
180	C₄	—	4	2	no	—
181	C₄	#431	1	4	yes	—
182	C₄	#553	1	2	yes	—
183	C₄	#556	1	2	yes	—
184	C₂	—	4	2	no	—
185	C₂	#2347	1	1	yes	characteristic
186	C₂	C₂×#431	1	1	yes	characteristic
187	C₂	#2924	1	1	yes	characteristic
188	C₂	C₈×#41	1	1	yes	characteristic
189	C₂	#2971	1	1	yes	characteristic
190	C₂	#2988	1	1	yes	characteristic
191	C₂	#2990	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂³×C₈
socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #1939	C₂	semidirect
4. #1839	C₂	semidirect
6. C₈×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
7. C₄×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
38. #117	C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#117	2
#1939	2
#1923	2
#1839	2
#1797	2
C₈×C₄⋊C₄	2
C₄×C₄⋊C₈	2
C₄×C₂²⋊C₈	2