Subgroups — #22648

Order 256.

558 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 314 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#435	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₄²×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#1940	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1851	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1850	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1842	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#1767	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#435	—	2	8	no	—
20	#423	—	2	4	no	—
21	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
22	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#336	C₂²	1	2	yes	—
44	#336	C₂²	1	2	yes	—
45	#336	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
54	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
55	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
56	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
57	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
58	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
59	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₄×D₄	—	2	4	no	—
64	C₄×D₄	—	2	4	no	—
65	C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
66	C₄×D₄	Q₈	1	4	yes	—
67	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
94	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
95	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
96	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
97	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
98	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
99	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
100	C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	complemented
101	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
102	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
103	#97	—	2	4	no	—
104	#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
105	#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
106	#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
107	#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
108	#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
109	#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
115	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
133	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
134	C₂²×C₄	M₁₆	1	4	yes	complemented
135	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
150	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
151	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	M₁₆	—	4	8	no	—
153	C₂×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂×C₈	—	2	2	no	—
157	C₂×C₈	—	2	2	no	—
158	C₂×C₈	—	2	2	no	—
159	C₂×C₈	—	2	2	no	—
160	C₂×C₈	—	2	2	no	—
161	C₂×C₈	—	2	2	no	—
162	C₂×C₈	—	2	2	no	—
163	C₂×C₈	—	2	2	no	—
164	C₂×C₈	—	4	8	no	—
165	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
166	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
169	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
173	C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
174	C₂²⋊C₄	M₁₆	1	4	yes	complemented
175	C₄²	—	2	2	no	—
176	C₄²	—	2	2	no	—
177	C₄²	—	2	2	no	—
178	C₄²	—	2	2	no	—
179	C₄²	—	2	2	no	—
180	C₄²	—	2	2	no	—
181	C₄²	—	2	2	no	—
182	C₄²	—	2	1	no	—
183	C₄²	—	2	1	no	—
184	C₄²	—	2	1	no	—
185	C₄²	—	2	1	no	—
186	C₄²	—	2	1	no	—
187	C₄²	—	2	1	no	—
188	C₄²	—	4	1	no	—
189	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
192	C₄²	#41	1	2	yes	—
193	C₂³	—	2	1	no	—
194	C₂³	—	2	1	no	—
195	C₂³	—	2	1	no	—
196	C₂³	—	2	1	no	—
197	C₂³	—	2	1	no	—
198	C₂³	—	2	1	no	—
199	C₂³	—	2	1	no	—
200	C₂³	—	2	1	no	—
201	C₂³	—	2	1	no	—
202	C₂³	—	2	1	no	—
203	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
204	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
205	C₂³	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
206	C₂³	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
207	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
208	D₄	—	2	8	no	—
209	C₂×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂×C₄	—	2	1	no	—
213	C₂×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂×C₄	—	2	1	no	—
215	C₂×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂×C₄	—	2	1	no	—
219	C₂×C₄	—	2	1	no	—
220	C₂×C₄	—	2	1	no	—
221	C₂×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂×C₄	—	2	1	no	—
224	C₂×C₄	—	2	1	no	—
225	C₂×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂×C₄	—	2	1	no	—
239	C₂×C₄	—	2	1	no	—
240	C₂×C₄	—	2	1	no	—
241	C₂×C₄	—	2	1	no	—
242	C₂×C₄	—	2	1	no	—
243	C₂×C₄	—	4	4	no	—
244	C₂×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
247	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
248	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
249	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
250	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
251	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
252	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
253	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
254	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
255	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
256	C₂×C₄	#131	1	2	yes	—
257	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
263	C₈	—	2	4	no	—
264	C₈	—	4	2	no	—
265	C₈	—	4	2	no	—
266	C₈	—	4	2	no	—
267	C₂²	—	2	2	no	—
268	C₂²	—	2	2	no	—
269	C₂²	—	2	2	no	—
270	C₂²	—	2	2	no	—
271	C₂²	—	2	2	no	—
272	C₂²	—	2	2	no	—
273	C₂²	—	2	2	no	—
274	C₂²	—	2	2	no	—
275	C₂²	—	2	2	no	—
276	C₂²	—	4	1	no	—
277	C₂²	—	4	1	no	—
278	C₂²	—	4	1	no	—
279	C₂²	—	4	1	no	—
280	C₂²	#423	1	4	yes	complemented
281	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	#520	1	1	yes	characteristic
284	C₂²	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
286	C₂²	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
287	C₂²	#568	1	1	yes	characteristic
288	C₄	—	2	2	no	—
289	C₄	—	2	2	no	—
290	C₄	—	2	2	no	—
291	C₄	—	2	2	no	—
292	C₄	—	2	2	no	—
293	C₄	—	2	2	no	—
294	C₄	—	2	2	no	—
295	C₄	—	2	2	no	—
296	C₄	—	4	1	no	—
297	C₄	—	4	1	no	—
298	C₄	—	4	1	no	—
299	C₄	#435	1	4	yes	complemented
300	C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
301	C₄	#547	1	1	yes	characteristic
302	C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
303	C₄	#554	1	1	yes	characteristic
304	C₂	—	2	4	no	—
305	C₂	—	4	2	no	—
306	C₂	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂	C₂×#423	1	1	yes	characteristic
308	C₂	#2906	1	1	yes	characteristic
309	C₂	C₂×#435	1	1	yes	characteristic
310	C₂	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
311	C₂	#2989	1	1	yes	characteristic
312	C₂	#2990	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂²×D₄	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#423	C₂	semidirect
3. C₂²×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
5. #1940	C₂	semidirect
6. #1851	C₂	semidirect
7. #1850	C₂	semidirect
8. #1842	C₂	semidirect
9. #1797	C₂	semidirect
10. #1797	C₂	semidirect
11. #1767	C₂	semidirect
100. C₄⋊C₈	D₄	semidirect
134. C₂²×C₄	M₁₆	semidirect
174. C₂²⋊C₄	M₁₆	semidirect
280. C₂²	#423	semidirect
299. C₄	#435	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#435	2
C₂×#423	2
C₂²×C₄⋊C₈	2
C₄²×D₄	2
#1940	2
#1851	2
#1850	2
#1842	2
#1797	2
#1767	2