Subgroups — #22654

Order 256.

505 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 241 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2352	C₂	1	2	yes	maximal
5	#1949	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1854	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1852	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1846	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1807	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1807	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₈×D₄	C₄	1	8	yes	complemented
18	#427	—	2	4	no	—
19	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#106	—	2	4	no	—
22	C₂×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#388	—	2	2	no	—
32	#387	—	2	2	no	—
33	#386	—	2	2	no	—
34	#382	C₂²	1	2	yes	—
35	#380	C₂²	1	2	yes	—
36	#380	C₂²	1	2	yes	—
37	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
38	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
39	#340	C₂²	1	2	yes	—
40	#340	C₂²	1	2	yes	—
41	#340	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
44	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
47	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
48	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
49	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
52	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₄×D₄	Q₈	1	4	yes	—
58	#117	—	2	4	no	—
59	#117	—	4	2	no	—
60	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
69	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#107	—	2	4	no	—
77	#107	—	4	2	no	—
78	#106	—	2	2	no	—
79	#106	—	2	2	no	—
80	#106	—	2	2	no	—
81	#106	—	2	4	no	—
82	#106	D₄	1	4	yes	complemented
83	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
84	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
86	C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
87	#95	—	2	2	no	—
88	#95	—	2	2	no	—
89	#95	—	2	2	no	—
90	#95	—	2	2	no	—
91	#95	—	2	2	no	—
92	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×D₄	—	2	4	no	—
95	C₂×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
96	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
97	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
98	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
99	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
100	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
101	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
102	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
103	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
104	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
109	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
110	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
111	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
118	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
119	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₈	—	2	1	no	—
121	C₂×C₈	—	2	1	no	—
122	C₂×C₈	—	2	1	no	—
123	C₂×C₈	—	2	1	no	—
124	C₂×C₈	—	2	1	no	—
125	C₂×C₈	—	2	1	no	—
126	C₂×C₈	—	2	8	no	—
127	C₂×C₈	—	2	8	no	—
128	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₈	#41	1	2	yes	—
134	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
142	C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
143	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
145	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
146	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
147	C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
148	C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
149	C₄²	—	4	4	no	—
150	C₄²	—	8	2	no	—
151	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
153	C₂³	—	2	1	no	—
154	C₂³	—	2	1	no	—
155	C₂³	—	2	2	no	—
156	C₂³	—	2	1	no	—
157	C₂³	—	2	1	no	—
158	C₂³	—	2	2	no	—
159	C₂³	—	2	2	no	—
160	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
162	C₂³	#135	1	4	yes	—
163	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
164	D₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₄	—	2	1	no	—
166	C₂×C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄	—	2	1	no	—
168	C₂×C₄	—	2	1	no	—
169	C₂×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄	—	4	2	no	—
181	C₂×C₄	—	4	2	no	—
182	C₂×C₄	—	4	2	no	—
183	C₂×C₄	—	4	2	no	—
184	C₂×C₄	—	4	2	no	—
185	C₂×C₄	—	4	2	no	—
186	C₂×C₄	—	4	2	no	—
187	C₂×C₄	—	4	2	no	—
188	C₂×C₄	—	4	2	no	—
189	C₂×C₄	—	4	2	no	—
190	C₂×C₄	—	4	2	no	—
191	C₂×C₄	—	8	8	no	—
192	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
195	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
202	C₈	—	2	2	no	—
203	C₈	—	2	2	no	—
204	C₈	—	2	2	no	—
205	C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
206	C₂²	—	2	4	no	—
207	C₂²	—	2	2	no	—
208	C₂²	—	2	2	no	—
209	C₂²	—	2	4	no	—
210	C₂²	—	2	2	no	—
211	C₂²	—	2	2	no	—
212	C₂²	—	2	2	no	—
213	C₂²	—	4	2	no	—
214	C₂²	—	4	2	no	—
215	C₂²	#427	1	4	yes	complemented
216	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²	D₄²	1	1	yes	characteristic
218	C₂²	#547	1	1	yes	characteristic
219	C₂²	C₂×#135	1	2	yes	—
220	C₂²	#577	1	2	yes	—
221	C₄	—	2	2	no	—
222	C₄	—	2	2	no	—
223	C₄	—	2	2	no	—
224	C₄	—	2	2	no	—
225	C₄	—	4	4	no	—
226	C₄	—	8	2	no	—
227	C₄	—	8	2	no	—
228	C₄	—	8	2	no	—
229	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₄	#520	1	1	yes	characteristic
231	C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
232	C₄	#554	1	1	yes	characteristic
233	C₂	—	2	4	no	—
234	C₂	—	4	2	no	—
235	C₂	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂	C₂×#427	1	1	yes	characteristic
237	C₂	#2912	1	1	yes	characteristic
238	C₂	#3282	1	2	yes	—
239	C₂	#3337	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₄	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#427	C₂	semidirect
3. C₂²×#106	C₂	semidirect
5. #1949	C₂	semidirect
6. #1854	C₂	semidirect
7. #1852	C₂	semidirect
8. #1846	C₂	semidirect
9. #1807	C₂	semidirect
10. #1807	C₂	semidirect
11. C₄×#106	C₂	semidirect
17. C₈×D₄	C₄	semidirect
51. C₂²×C₈	C₂×C₄	semidirect
82. #106	D₄	semidirect
83. C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
85. C₂²⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
86. C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
215. C₂²	#427	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₈×D₄	2
C₂×#427	2
C₂²×#106	2
#2352	2
#1949	2
#1854	2
#1852	2
#1846	2
#1807	2
C₄×#106	2