Subgroups — #22664

Order 256.

489 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 207 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#428	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2352	C₂	1	2	yes	maximal
4	#1949	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1854	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1852	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1846	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1809	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₄×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
14	#436	C₄	1	8	yes	complemented
15	#428	—	2	8	no	—
16	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#388	—	2	2	no	—
27	#387	—	2	2	no	—
28	#386	—	2	2	no	—
29	#382	C₂²	1	2	yes	—
30	#380	C₂²	1	2	yes	—
31	#380	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
34	#340	C₂²	1	2	yes	—
35	#340	C₂²	1	2	yes	—
36	#340	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
39	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
41	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
42	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
43	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₄×D₄	Q₈	1	4	yes	—
48	#117	—	2	4	no	—
49	#117	—	4	2	no	—
50	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
51	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
53	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
59	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
60	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
61	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#107	—	2	2	no	—
66	#107	—	2	4	no	—
67	#107	—	4	1	no	—
68	#107	—	4	1	no	—
69	#107	D₄	1	4	yes	complemented
70	#106	—	2	4	no	—
71	#106	—	2	4	no	—
72	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
73	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
74	C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
75	#95	—	2	2	no	—
76	#95	—	2	2	no	—
77	#95	—	2	2	no	—
78	#95	—	2	2	no	—
79	#95	—	2	2	no	—
80	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
81	C₂×D₄	—	4	1	no	—
82	C₂×D₄	—	4	1	no	—
83	C₂×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
85	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
86	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
93	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
94	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
95	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
96	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
100	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
101	M₁₆	—	2	16	no	—
102	C₂×C₈	—	2	2	no	—
103	C₂×C₈	—	2	2	no	—
104	C₂×C₈	—	2	1	no	—
105	C₂×C₈	—	2	1	no	—
106	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
108	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂×C₈	#41	1	2	yes	—
111	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
112	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
113	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
115	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
116	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
119	C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
120	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
121	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
122	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
123	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
124	C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
125	C₄²	—	4	4	no	—
126	C₄²	—	8	2	no	—
127	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
129	C₂³	—	2	2	no	—
130	C₂³	—	2	2	no	—
131	C₂³	—	2	2	no	—
132	C₂³	—	2	2	no	—
133	C₂³	—	2	2	no	—
134	C₂³	—	2	2	no	—
135	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
136	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
137	D₄	—	4	4	no	—
138	C₂×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄	—	2	1	no	—
141	C₂×C₄	—	2	1	no	—
142	C₂×C₄	—	2	1	no	—
143	C₂×C₄	—	2	1	no	—
144	C₂×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄	—	4	2	no	—
150	C₂×C₄	—	4	2	no	—
151	C₂×C₄	—	4	2	no	—
152	C₂×C₄	—	4	2	no	—
153	C₂×C₄	—	4	2	no	—
154	C₂×C₄	—	4	2	no	—
155	C₂×C₄	—	4	2	no	—
156	C₂×C₄	—	4	2	no	—
157	C₂×C₄	—	4	2	no	—
158	C₂×C₄	—	4	2	no	—
159	C₂×C₄	—	4	2	no	—
160	C₂×C₄	—	8	8	no	—
161	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
164	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
170	C₈	—	2	4	no	—
171	C₈	—	2	2	no	—
172	C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
173	C₂²	—	2	4	no	—
174	C₂²	—	2	4	no	—
175	C₂²	—	2	4	no	—
176	C₂²	—	4	2	no	—
177	C₂²	—	4	2	no	—
178	C₂²	—	4	2	no	—
179	C₂²	—	4	2	no	—
180	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂²	D₄²	1	1	yes	characteristic
182	C₂²	#547	1	1	yes	characteristic
183	C₂²	#575	1	1	yes	characteristic
184	C₂²	#575	1	1	yes	characteristic
185	C₂²	#576	1	1	yes	characteristic
186	C₂²	#578	1	1	yes	characteristic
187	C₄	—	2	4	no	—
188	C₄	—	2	2	no	—
189	C₄	—	2	2	no	—
190	C₄	—	4	4	no	—
191	C₄	—	8	2	no	—
192	C₄	—	8	2	no	—
193	C₄	—	8	2	no	—
194	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₄	#520	1	1	yes	characteristic
196	C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
197	C₄	#554	1	1	yes	characteristic
198	C₂	—	4	4	no	—
199	C₂	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂	#2911	1	1	yes	characteristic
201	C₂	#2913	1	1	yes	characteristic
202	C₂	#3273	1	1	yes	characteristic
203	C₂	#3277	1	1	yes	characteristic
204	C₂	#3352	1	1	yes	characteristic
205	C₂	#3355	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₄	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#428	C₂	semidirect
4. #1949	C₂	semidirect
5. #1854	C₂	semidirect
6. #1852	C₂	semidirect
7. #1846	C₂	semidirect
8. #1809	C₂	semidirect
9. C₄×#107	C₂	semidirect
14. #436	C₄	semidirect
42. C₂×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
69. #107	D₄	semidirect
72. C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
73. C₂²⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
74. C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#436	2
C₂×#428	2
#2352	2
#1949	2
#1854	2
#1852	2
#1846	2
#1809	2
C₄×#107	2